Nierówność wielomianowa

Jak rozwiązać nierówność wielomianową ?

2. Wszystkie czynniki wielomianu w postaci iloczynowej, które są w potędze nieparzystej należy uporządkować do jednej z dwóch postaci, tak aby przy zmiennej \(x\) był znak dodatni:

w tym celu należy wyciągnąć minus przed nawias, następnie wszystkie minusy przesuwamy na początek nierówności:

$$ \left(x-x_1\right)\left( \mathbf{{\color{#c85959}-}} x-x_2\right)...\left(x-x_n\right) $$ $$ \downarrow $$ $$ \left(x-x_1\right) \mathbf{{\color{#c85959}-}} \left(x+x_2\right)...\left(x-x_n\right) $$ $$ \downarrow $$ $$ \mathbf{{\color{#c85959}-}} \left(x-x_1\right)\left(x+x_2\right)...\left(x-x_n\right) $$

pamiętając, że:

- iloczyn parzystych elementów ujemnych daje wynik dodatni:

$$ (-a)^{2n} = +... $$

- iloczyn nieparzystych elementów ujemnych daje wynik ujemny:

$$ (-a)^{2n+1} = -... $$

określamy ostateczny znak wielomianu.

3. Z każdego czynnika należy wyznaczyć pierwiastek oraz jego krotność:

• pierwiastek określamy przyrównując zawartość danego czynnika do zera i rozwiazując tak powstałe równanie liniowe lub kwadratowe
• krotność pierwiastka określa potęga danego czynnika

$$ ...(ax+b)^{{\color{#2980b9}n}}... $$ $$ \downarrow $$

pierwiastek: \( \quad ax+b=0 \quad \rightarrow \quad x \)

krotność: \( \quad {\color{#2980b9}n} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad\)

4. Wyznaczone pierwiastki nanosimy na oś liczbową:

• jeżeli nierówność jest typu: \(<,>\) to miejsca pierwiastków oznaczamy kropką niezamalowaną

• jeżeli nierówność jest typu: \(\leqslant, \geqslant \) to miejsca pierwiastków oznaczamy kropką zamalowaną

5. Rysujemy wykres wg. zasad:

• zaczynamy od prawej strony osi liczbowej


• w zależności od znaku wielomianu (dlatego ważne jest jego wcześniejsze poprawne uporządkowanie):

- w przypadku minusa - zaczynamy rysować wykres od spodu osi liczbowej

- w przypadku plusa - zaczynamy rysować wykres z nad osi liczbowej

• w zależności od krotności pierwiastka:

- jeżeli jest parzysta \((2,4,6,...)\) - to w miejscu pierwiastka "odbijamy" wykres

- jeżeli jest nieparzysta \((1,3,5,...)\) - to w miejscu pierwiastka wykres przecnia oś liczbową

6. W zależności od znaku nierówności rozwiązaniem jest:

• \( > \) - wykres znajdujący się nad osią liczbową


• \( \geqslant \) - wykres znajdujący się nad osią liczbową oraz miejsca pierwiastków na osi liczbowej


• \( < \) - wykres znajdujący się pod osią liczbową


• \( \leqslant \) - wykres znajdujący się pod osią liczbową oraz miejsca pierwiastków na osi liczbowej

7. Zapisujemy rozwiązanie w postaci sumy przedziałów

Symulator wykresu rozwiązania nierówności wielomianowej

postać nierówności:

$$ -(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4) \; ? \; 0 $$

znak wielomianu:

krotność pierwiastków:

rozwiązanie nierówności w zależności od znaku nierówności ma postać:

$$ \textit{wybierz znak nierówności} $$