Twierdzenie o wymiernych pierwiastkach wielomianu

O czym mówi twierdzenie o wymiernych pierwiastkach wielomianu ?

Jeżeli mamy wielomian, w którym każdy ze współczynników jest liczbą całkowitą, np.:

to aby znaleźć jego pierwiastki (rozwiązania) wymierne

• wyznaczamy całkowite dzielniki wyrazu wolnego wielomianu:
$$ W(x)=4x^3-3x+\underline1 $$

wyrazem wolnym wielomianu \(W(x)\) jest liczba \(1\), jego dzielnikami są:

$$ -1,1 $$
• wyznaczamy całkowite dzielniki współczynnika przy największej potędze \(x\) wielomianu:
$$ W(x)=\underline4x^3-3x+1 $$

współczynnikiem przy największej potędze \(x\) wielomianu \(W(x)\) jest liczba \(4\), jego dzielnikami są:

$$ -1,1,-2,2,-4,4 $$
• Na podstawie wypisanych dzielników tworzyny dzielniki wymierne w postaci:
$$ \frac{dzielnik\;wyrazu\;wolnego}{dzielnik\;współczynnika\;przy\;największej\;potędze\;x} $$

otrzymujemy następujące liczby:

$$ \frac{-1}{-1} = 1 $$ $$ \frac{-1}{1} = -1 $$ $$ \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2} $$ $$ \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2} $$ $$ \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4} $$ $$ \frac{-1}{4} = -\frac{1}{4} $$
$$ \frac{1}{-1} = -1 $$ $$ \frac{1}{1} = 1 $$ $$ \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2} $$ $$ \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $$ $$ \frac{1}{-4} = -\frac{1}{4} $$ $$ \frac{1}{4} = \frac{1}{4} $$

po usunięciu powtarzających się rozwiązań:

$$-1,1,-\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{4},\frac{1}{4}$$
• Każdy z wyznaczonych dzielników wymiernych podstawiamy do wielomianu w miejsce \(x\) i sprawdzamy, który dzielnik doprowadzi do wyniku równego zero:

\(\color{#C85959}W(-1)=4\cdot (-1)^3-3\cdot (-1)+1 = -4+3+1=0\)

\(W(1)=4\cdot 1^3-3\cdot -1+1 = 4+3+1=8\)

\(W(-\frac{1}{2})=4\cdot (-\frac{1}{2})^3-3\cdot (-\frac{1}{2})+1 = -\frac{1}{2}+\frac{3}{2}+1=2\)

\(\color{#C85959}W(\frac{1}{2})=4\cdot \frac{1}{2}^3-3\cdot \frac{1}{2}+1 = \frac{1}{2}-\frac{3}{2}+1=0\)

\(W(-\frac{1}{4})=4\cdot (-\frac{1}{4})^3-3\cdot (-\frac{1}{4})+1 = -\frac{1}{16}+\frac{3}{4}+1=1\frac{11}{16}\)

\(W(\frac{1}{4})=4\cdot \frac{1}{4}^3-3\cdot \frac{1}{4}+1 = \frac{1}{16}-\frac{3}{4}+1=\frac{5}{16}\)

Wszystkie dzielniki wymierne, które spowodują wyzerowanie się wielomianu \(W(x)\) na mocy twierdzenia są pierwiastkami wymiernymi wielomianu \(W(x)\):

$$ x=-1, \quad x=\frac{1}{2} $$