Ułamki

poziom podstawowy

Teoria

Czym jest ułamek?

$$ \frac{a}{b} $$

Ułamkiem nazywamy wyrażenie matematyczne zawierające w swoim zapisie kreskę ułamkową. Liczba nad kreską ułamkową $ a $ nosi nazwę licznika, liczba pod kreską ułamkową $ b $ nosi nazwę mianownika. Kreska ułamkowa to symbol dzielenia:

ułamek to inaczej zapis działania dzielenia:

$$ \frac{5}{2} \rightarrow 5 : 2 $$

Rodzaje ułamków

Ułamek zwykły - ułamek zapisany za pomocą kreski ułamkowej:

$$ \frac{1}{2},\quad \frac{6}{10},\quad \frac{5}{2} $$

Ułamek właściwy - ułamek zwykły, w którym licznik jest mniejszy od mianownika:

$$ \frac{1}{2},\quad \frac{5}{12},\quad \frac{7}{9} $$

Ułamek niewłaściwy - ułamek zwykły, w którym licznik jest większy od mianownika lub równy mianownikowi:

$$ \frac{5}{2},\quad \frac{25}{4},\quad \frac{5}{5} $$

Liczba mieszana - szczególna postać ułamka niewłaściwego, z którego wyciągnięto część całkowitą, w efekcie tego otrzymujemy połączenie liczb całkowitych z ułamkami:

$$ 2\frac{1}{2},\quad 5\frac{1}{4},\quad 2\frac{2}{5} $$

Ułamek dziesiętny - ułamek zapisany za pomocą przecinka:

$$ 0,75 $$

$$ 0,1111 \ldots $$

$$ 0,(3) $$

Ułamek dziesiętny skończony - ułamek dzięsiętny, w którym po przecinku znajduje się skończona ilość cyfr, mianownikiem takiego ułamka jest wielokrotność liczby 10:

$$ 0,5 $$

$$ 0,125 $$

Ułamek dziesiętny nieskończony - ułamek dzięsiętny, w którym po przecinku znajduje się nieskończona ilość cyfr:

$$ 0,333333 \ldots $$

$$ 0,14285714 \ldots $$

Ułamek dziesiętny nieskończony okresowy - ułamek dzięsiętny nieskończony, w którym wśród liczb po przecinku znajduje się pewna grupa liczb cyklicznie powtarzajaca się, którą zapisujemy w nawiasie:

$$ 1,(428571) $$

$$ 0,1(36) $$

Działania na ułamkach

Dodawanie i odejmowanie:

Jeżeli ułamki mają ten sam mianownik - należy zsumować ich liczniki:

$$ \frac{2}{3} + \frac{5}{3} = \frac{2+5}{3} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$$

Jeżeli ułamki mają różne mianowniki - należy znaleźć wspólny mianownik, przekształcić ułamki a następnie zsumować ich liczniki:

$$ \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3+2}{4} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$$

Analogicznie jest w przypadku odejmowania ułamków.

Jeżeli ułamki mają ten sam mianownik - należy obliczyć różnicę ich liczników:

$$ \frac{2}{3} - \frac{5}{3} = \frac{2-5}{3} = \frac{-3}{3} = -1$$

Jeżeli ułamki mają różne mianowniki - należy znaleźć wspólny mianownik, przekształcić ułamki a następnie obliczyć różnicę ich liczników:

$$ \frac{2}{3} - \frac{3}{5} = \frac{10}{15} - \frac{9}{15} = \frac{10-9}{15} = \frac{1}{15}$$

Mnożenie i dzielenie:

Mnożyć i dzielić można wszystkie ułamki. Aby ułamki pomnożyć wykonujemy działanie mnożenia zarówno na licznikach jak i mianownikach:

$$ \frac{5}{2} \cdot \frac{7}{5} = \frac{5 \cdot 7}{2 \cdot 5} = \frac{35}{10} = 3\frac{1}{2}$$

W przypadku dzielenia ułamków, należy przekształcić dzielenie w mnożenie poprzez odwrócenie ułamka, który jest dzielnikiem:

$$ \frac{1}{6} : {\color{#2980b9}\frac{2}{4}} = \frac{1}{6} \cdot {\color{#2980b9}\frac{4}{2}} = \frac{1 \cdot 4}{6 \cdot 2} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$$

$$ \frac{\frac{3}{2}}{{\color{#2980b9}\frac{2}{3}}} = \frac{3}{2} \cdot {\color{#2980b9}\frac{3}{2}} = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 2} = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$$

Liczby rzeczywiste

Potęgi

Google Analytics
Wykorzystujemy to narzędzie do gromadzenia danych statystycznych na temat zachowań internautów na naszej stronie internetowej. Te informacje obejmują m.in. liczbę odwiedzających, źródło ich przekierowania na stronę, odwiedzane zakładki, informację geograficzne czy czas spędzony na stronie.