Matura 2025

>

Liczby rzeczywiste

>

poziom podstawowy:

Potęgi

Potęgi

poziom podstawowy

Czym jest potęga?

$$a^n$$

Potęga to wyrażenie matematyczne, które składa się z podstawy \(a\) wraz z umiejsciowionym w indeksie górnym wykładnikiem \(n\). Za pomocą potęgi możemy w prostszy sposób zapisać wielokrotne mnożenie tej samej liczby, np:

$$ 2^3 = 2\cdot 2 \cdot 2 $$

Własności potęg

  • Dowolna liczba lub wyrażenie (inne niż zero) podniesione do potęgi zerowej daje nam wynik równy jeden

    • $$a^0 = 1, \quad a\neq 0$$

    $$ {2^0} = 1$$

  • Gdy wykładnikiem potęgi jest liczba ujemna, możliwe jest zniesienie minusa na rzecz odwrotności liczby potęgowanej:

    • $$a^{-n} = \left(\frac{1}{a^n}\right)$$

    $$ {2^{-2}} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} $$

  • Potęga z potęgi:

    • $$\left(a^{m}\right)^n = a^{m \cdot n}$$

    $$ \left(2^5\right)^{-3} = 2^{(5 \cdot (-3))} = 2^{-15} $$

  • Każdy pierwiastek można przekształcić do postaci potęgi:

    • $$ \sqrt[n]{a^k} = a^{\frac{k}{n}}$$

    $$ \sqrt[3]{6} = {6^{{1 \over 3}}} $$

Działania na potęgach

  • Dodawanie i odejmowanie:

    • dodawać i odejmować można tylko potęgi o takiej samej podstawie i wykładniku:

    $$ 3^2 + 3^2 = {\color{#2980b9}2} \cdot 3^2$$

    $$ 3^2 - {\color{#2980b9}2} \cdot 3^2 = -3^2$$

  • Mnożenie:

    • możemy mnożyć potęgi o tej samej podstawie:

    $$ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $$

    $$ 2^2 \cdot 2^5 = 2^{2+5} = 2^7 $$

    możemy mnożyć potęgi o tym samym wykładniku:

    $$ a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n $$

    $$ 3^2 \cdot 2^2 = (3 \cdot 2)^2 = 6^2 $$

  • Dzielenie:

    • możemy dzielić potęgi o tej samej podstawie:

    $$ \frac{a^m}{a^n} = (a)^{m-n} $$

    $$ \frac{4^3}{4^2} = 4^{3-2} = 4^1 = 4 $$

    $$ 2^2 : 2^5 = 2^{2-5} = 2^{-3} $$

    możemy dzielić potęgi o tym samym wykładniku:

    $$ \frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n $$

    $$ \frac{4^2}{5^2} = \left( \frac{4}{5} \right) ^2 $$

    $$ 6^3 : 3^3 = \left( \frac{6}{3} \right) ^3 = 2^3 $$

Własności monotoniczności potęgowania

Istnieją własności, dzięki którym bez konieczności obliczania potęg możemy porównać ze sobą potęgi o tej samej podstawie.

  • gdy podstawą potęgi jest liczba większą od 1

    • Jeżeli chcemy określić, która z dwóch potęg o tej samej podstawie jest większa, np:

    $$ 2^{2023} \quad ? \quad 2^{2024} $$

    to w przypadku, kiedy podstawą potęg jest liczba większa od \(1\) to naturalnie większą liczbą jest ta potęga której wykładnik jest większy:

    $$ 2^{2023} < 2^{2024} $$

  • gdy podstawą potęgi jest ułamek właściwy

    • Jeżeli podstawą porównywanych potęg jest liczba pomiędzy \(0\) a \(1\), np:

    $$ \left( \frac{1}{2} \right)^{2023} \quad ? \quad \left( \frac{1}{2} \right)^{2024} $$

    to większą liczbą jest potęga, której wykładnik jest mniejszy:

    $$ \left( \frac{1}{2}\right)^{2023} > \left( \frac{1}{2} \right)^{2024} $$

Ulamki
Pierwiastki