Matura 2025

>

Wyrażenia algebraiczne

>

poziom podstawowy:

Wielomiany

Wielomiany

poziom podstawowy

Czym są wielomiany ?

Wyrażenia algebraiczne to kombinacje symboli algebraicznych, takich jak liczby, zmienne, operatory i funkcje matematyczne, które są związane ze sobą za pomocą działań algebraicznych takich jak: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie i potęgowanie:

$$ 2x+1 $$

Wielomiany natomiast są szczególnym rodzajem wyrażeń algebraicznych, w których mamy tylko sumę potęg jednej lub wielu zmiennych, pomnożonych przez współczynniki. Każda potęga zmiennej ma przypisany stały współczynnik:

$$ W(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 $$

gdzie:

\(W\) - oznaczenie wielomianu (dowolna drukowana litera alfabetu)

\(x\) - zmienna wielomianu

\(a_n, ..., a_0\) - współczynniki wielomianu

$$ W(x)=2x^3-3x+2x-4 $$

Nazewnictwo "wielomianów"

  • jednomian - pojedyncze wyrażenie algebraiczne np.:
    • $$ 5,\quad 2x,\quad xy,\quad 5x^2 $$
  • dwumian - podwójne wyrażenie algebraiczne np.:
    • $$ 2x-3,\quad x+2y,\quad \frac{2}{3}x^2 $$
  • trójmian - potrójne wyrażenie algebraiczne np.:
    • $$ 2x^5-3x-1,\quad 2x^3+x^2+3,\quad \frac{2}{3}x^4+2x^2+x $$
  • wielomian - poczwórne i każde większe wyrażenie algebraiczne np.:
    • $$ x^3-x^2+3x+2,\quad 2x^5+6x^3-x^2+2x+1 $$

Jak określić stopień wielomianu ?

Dla każdego wielomianu możemy określić jego stopień:

  • w przypadku wielomianu zapisanego w postaci ogólnej - jego stopień określa nam największa potęga przy zmiennej, np.:

    • \(W(x)=3x^{\color{#C85959}4}-2x^3+x-5\) - wielomian stopnia czwartego

    \(W(x)=5x^{\color{#C85959}6}+3x^4+4x^2+3x\) - wielomian stopnia szóstego

  • w przypadku wielomianu zapisanego w postaci iloczynowej - jego stopień jest sumą potęg przy zmiennych we wszystkich czynnikach, np.:

    • \(W(x)=\underset{\color{#C85959}\overset{ }{0}}{2}\underset{\color{#C85959}1}{(x-2)}\underset{\color{#C85959}2}{(x^2+4)}\underset{\color{#C85959}2}{(x^2+1)}\) - wielomian stopnia piątego

    dodatkowo, jeżeli któryś z nawiasów podniesiony jest do potęgi to potęgę zmiennej wewnątrz tego nawiasu należy przemnożyć przez jej wartość, np.:

    \(W(x)=\underset{\color{#C85959}2}{(x+1)^2}\underset{\color{#C85959}6}{(x^2-3)^3}\underset{\color{#C85959}3}{(x^3+2)}\) - wielomian stopnia jedenastego

Wyrażenia algebraiczne
Działania na wielomianach