Matura 2025

>

Liczby rzeczywiste

>

poziom podstawowy:

Logarytmy

Logarytmy

poziom podstawowy

Czym jest logarytm?

$$ \log_{a}b $$

Logarytm to wyrażenie matematyczne zapisane za pomocą symbolu logarytmu \({\log_{}}\). Liczba \(a\) nazywana jest podstawą logarytmu (\(a>0\) i \(a \neq 1\)) natomiast \(b\) to liczba logarytmowana. Logarytmowanie jest odwrotnością potęgowania.

Logarytm odpowiada na pytanie:

Do której potęgi należy podnieść podstawę logarytmu \(\color{#C85959}a\) aby otrzymać liczbę logarytmowaną \(\color{#2980b9}b\)?

Formalna definicja logarytmu wyrażona jest zależnością:

$$ {\log_{\color{#C85959}a}{\color{#2980b9}b}} = c \quad bo \quad {\color{#C85959}a}^c = {\color{#2980b9}b}$$

Działania na logarytmach

  • Dodawanie:

    • Dodawać można tylko logarytmy o tej samej podstawie zgodnie ze wzorem:

    $$ {\log_{a}x} + {\log_{a}y} = {\log_{a}\left(x \cdot y \right)} $$

    $$ {\log_{}5} + {\log_{}20} = {\log_{}\left(5 \cdot 20 \right)} = {\log_{}100} = 2 $$

  • Odejmowanie:

    • Odejmować można tylko logarytmy o tej samej podstawie zgodnie ze wzorem:

    $$ {\log_{a}x} - {\log_{a}y} = {\log_{a}{x \over y} } $$

    $$ {\log_{2}24} - {\log_{2}3} = {\log_{2}{24 \over 3} } = {\log_{2}8} = 3 $$

  • Mnożenie i dzielenie:

    • Nie istnieją wzory na mnożenie i dzielenie logarytmów.

Własności logarytmów

  • Logarytm dziesiętny:

    • $$\log_{}{x}$$

    Logarytmy o podstawie \(10\) możemy zapisywać bez podawania wartości podstawy:

    $$ {\log_{10}100} = {\log_{}100}$$

  • Logarytm z jedynki:

    • $$\log_{a}{1}=0$$

    Logarytmy o dowolnej podstawie z liczby \(1\) da zawsze wynik równy zero:

    $$ {\log_{5}1} = 0 \quad bo \quad 5^0 = 1$$

  • Wzór na logarytm iloczynu (dodawanie logarytmów):

    • $$ {\log_{a}\left(x \cdot y \right)} = {\log_{a}x} + {\log_{a}y}$$

    Wzór opisuje sposób dodawania logarytmów (o jednakowej podstawie)

    $$ {\log_{2}3} + {\log_{2}6} = {\log_{2}{\left(3 \cdot 6\right)}} = {\log_{2}18}$$

    Wzór opisuje również sposób rozbicia logarytmu (przydatny w różnych zadaniach):

    $$ {\log_{2}12} = {\log_{2}{\left(4 \cdot 3\right)}} = {\log_{2}4} + {\log_{2}3} = 2 + {\log_{2}3}$$

  • Wzór na logarytm ilorazu (odejmowanie logarytmów):

    • $$ {\log_{a}{x \over y} } = {\log_{a}x} - {\log_{a}y}$$

    Wzór opisuje sposób odejmowania logarytmów (o jednakowej podstawie)

    $$ {\log_{2}18} - {\log_{2}6} = {\log_{2}{\left(18 \over 6\right)}} = {\log_{2}3}$$

    Wzór opisuje również sposób rozbicia logarytmu (przydatny w różnych zadaniach):

    $$ {\log_{2}6} = {\log_{2}{12 \over 2}} = {\log_{2}12} - {\log_{2}2} = {\log_{2}12} - 1$$

  • Wzór na logarytm potęgi o wykładniku naturalnym:

    • $$ {\log_{a}{x^r} } = r \cdot {\log_{a}x}$$

    Wzór opisuje sposób "pozbycia się" liczby przed logarytmem, poprzez przeniesienie jej jako potęgi liczby logarytmowanej:

    $$ {3\log_{2}5} = {\log_{2}{5^3}}$$

Pierwiastki
Zbiory Liczbowe