Pierwiastki

Czym jest pierwiastek?

$$ \sqrt[n]{a} $$

Pierwiastek to wyrażenie matematyczne zapisane za pomocą symbolu pierwiastka \(\sqrt[]{\quad}\). Liczba \(a\) nazywana jest liczbą podpierwiastkową natomiast \(n\) to stopień pierwiastka (\(n>1\)). Z definicji pierwiastek reprezentuje działanie odwrotone do potęgowania:

Własności pierwiastków

• pierwiastek iloczynu

$$ \sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} $$

wzór ten pozwala nam "rozbić" pierwiastek na iloczyn dwóch innych pierwiastków (tego samego stopnia):

$$ \sqrt[3]{35} = \sqrt[3]{7 \cdot 5} = \sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[3]{5} $$

• pierwiastek ilorazu

$$ \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} $$

przykład:

$$ \sqrt[5]{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt[5]{2}}{\sqrt[5]{3}} $$

wzór ten pozwala nam również "rozbić" pierwiastek na iloraz dwóch innych pierwiastków (tego samego stopnia):

$$ \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{\frac{20}{5}} = \frac{\sqrt[3]{20}}{\sqrt[3]{5}} $$

• pierwiastek z pierwiastka

$$ \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a} $$

przykład:

$$ \sqrt[2]{\sqrt[3]{5}} = \sqrt[2 \cdot 3]{5} = \sqrt[6]{5} $$

• potęga pierwiastka

$$ \left( \sqrt[n]{a} \right)^m = \sqrt[n]{a^m} $$

przykład:

$$ \left( \sqrt[3]{7} \right)^2 = \sqrt[3]{7^2} = \sqrt[3]{49} $$

Działania na pierwiastkach

• Dodawanie i odejmowanie:

Dodawać i odejmować można tylko pierwiastki tego samego stopnia i z taką samą liczbą podpierwiastkową:

$$ \sqrt{2} + \sqrt{2} = {\color{#2980b9}2}\sqrt{2}$$

$$ {\color{#2980b9}2}\sqrt[3]{5} - \sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{5}$$

• Mnożenie i dzielenie:

Mnożyć i dzielić można tylko pierwiastki tego samego stopnia:

$$ \sqrt[]{a} \cdot \sqrt[]{b} = \sqrt[]{a \cdot b} $$

$$ \sqrt[]{2} \cdot \sqrt[]{5} = \sqrt[]{2 \cdot 5} = \sqrt[]{10}$$

$$ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} $$

$$ \frac{\sqrt[]{10}}{\sqrt[]{2}} = \sqrt[]{\frac{10}{2}} = \sqrt[]{5} $$

$$ \sqrt[3]{28} : \sqrt[3]{7} = \sqrt[3]{28 : 7} = \sqrt[3]{4}$$