Metody rozkładu wielomianów na czynniki

poziom podstawowy

Teoria

Czym jest rozkład wielomianu na czynniki ?

Rozkład wielomianu na czynniki oznacza przekształcenie wielomianu z postaci ogólnej np.:

$$ W(x)=2x^4-8x^3+14x^2-32x+24 $$

do postaci iloczynowej:

$$ W(x)=2(x-1)(x^2+4)(x-3) $$

Metody rozkładu wielomianu na czynniki

Wyciąganie wspólnego czynnika przed nawias:

Polega na wyciągnięciu (o ile istnieje) tej samej liczby lub/i zmiennej $x$ z każdego czynnika wielomianu, np.:

$$ W(x)=2x+4 $$ $$\downarrow$$ $$ W(x)={\color{#2980b9}2}(x+2)$$

Grupowanie wyrazów:

Stosujemy do wielomianów od czwartego stopnia wzwyż

Polega na znalezieniu par czynników wielomianu, z których jesteśmy wstanie wyciągnąć to samo wyrażenie, np.:

$$ W(x)={\color{#e3a91f}x^3-x^2}+2x-2 $$ $$\downarrow$$ $$ W(x)={\color{#c85959}x^2}{\color{#2980b9}(x-1)}{\color{#c85959}+2}{\color{#2980b9}(x-1)}$$ $$\downarrow$$ $$ W(x)={\color{#2980b9}(x-1)}{\color{#c85959}(x^2+2)} $$

Obliczenie delty lub wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia:

Stosujemy do wielomianów drugiego stopnia

Polega na obliczeniu delty wielomianu drugiego stopnia, obliczeniu jego pierwiastków (o ile istnieją) a nastepnie zapisanie takiego wielomianu w postaci iloczynowej. Drugim sposobem jest skorzystanie z jednego ze wzorów skróconego mnożenia.

$$ W(x)=x^2+3x+2 $$ $$\downarrow \quad {\color{#2980b9}\triangle} $$ $$ W(x)=(x+1)(x+2) $$

Sposób obliczenia delty:

1. Porządkujemy wielomian do postaci:

$$ W(x)=\textcolor{#c85959}{a}x^2+\textcolor{#2980b9}{b}x+\textcolor{#449B47}{c} $$

2. Obliczamy deltę $\triangle$ ze wzoru:

$$ \triangle=\textcolor{#2980b9}{b}^2-4\textcolor{#c85959}{a}\textcolor{#449B47}{c} $$

3. W zależności od wyniku delty $\triangle$ mamy trzy możliwości:

delta dodatnia

$$ \triangle>0 $$

Jeżeli wynik delty jest liczbą dodatnią to takie równanie ma dwa rozwiązania, które wyliczymy ze wzorów:

$$ {\color{#e3a91f}x_1}=\frac{-{\color{#2980b9}b}-\sqrt\triangle}{2{\color{#c85959}a}} $$ $$ {\color{#e3a91f}x_2}=\frac{-{\color{#2980b9}b}+\sqrt\triangle}{2{\color{#c85959}a}} $$

Zapisujemy wielomian w postaci iloczynowej:

$$ W(x)={\color{#c85959}a}(x-{\color{#e3a91f}x_1})(x-{\color{#e3a91f}x_2}) $$

delta zerowa

$$ \triangle=0 $$

Jeżeli wynik delty jest równy zero to takie równanie ma jedno rozwiązanie, które wyliczymy ze wzoru:

$$ {\color{#e3a91f}x_0}=\frac{-{\color{#2980b9}b}}{2{\color{#c85959}a}} $$

Zapisujemy wielomian w postaci iloczynowej:

$$ W(x)={\color{#c85959}a}(x-{\color{#e3a91f}x_0})^2 $$

delta ujemna

$$ \triangle< 0 $$

Jeżeli wynik delty jest liczbą ujemną to takie równanie nie ma rozwiązań

$$ x\in \varnothing $$

W takim przypadku wielomian nie ma postaci iloczynowej.

Wzory skróconego mnożenia

Wyrażenia wymierne

Google Analytics
Wykorzystujemy to narzędzie do gromadzenia danych statystycznych na temat zachowań internautów na naszej stronie internetowej. Te informacje obejmują m.in. liczbę odwiedzających, źródło ich przekierowania na stronę, odwiedzane zakładki, informację geograficzne czy czas spędzony na stronie.