Matura 2025

>

Wyrażenia algebraiczne

>

poziom podstawowy:

Wzory skróconego mnożenia

Wzory skróconego mnożenia

poziom podstawowy

Czym są wzory skróconego mnożenia ?

Wzory skróconego mnożenia to reguły matematyczne, które ułatwiają mnożenie wyrażeń algebraicznych bez konieczności wymnażania ich krok po kroku. Wzory skróconego mnożenia przydają się podczas przekształcania wielomianów z postaci ogólnej do iloczynowej i na odwrót.

Wzory skróconego mnożenia

  • kwadrat sumy:

    • $$ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $$

    przykłady:

    $$ (x+5)^2 = x^2+10x+25 $$ $$ (2x+3)^2 = 4x^2+12x+9 $$ $$ (x+\sqrt[]{2})^2 = x^2+2\sqrt[]{2}x+2 $$ $$ \left(x+\frac{1}{2}\right)^2 = x^2+x+\frac{1}{4} $$ $$\begin{eqnarray} (2+\sqrt[]{3})^2 &=& 4+2\sqrt[]{3}+3 \\\ &=& 7+2\sqrt[]{3} \end{eqnarray}$$
  • kwadrat różnicy:

    • $$ (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 $$

    przykłady:

    $$ (x-2)^2 = x^2-4x+4^2 $$ $$ (3x-5)^2 = 9x^2-30x+25 $$ $$ (2x-\sqrt[]{5})^2 = 4x^2-4\sqrt[]{5}x+5 $$ $$ \left(x-\frac{2}{3}\right)^2 = x^2-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9} $$ $$\begin{eqnarray} (1-\sqrt[]{5})^2 &=& 1-2\sqrt[]{5}+5 \\\ &=& 6-2\sqrt[]{5} \end{eqnarray}$$
  • różnica kwadratów:

    • $$ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $$

    przykłady:

    $$ x^2-25 = (x-5)(x+5) $$ $$ 4x^2-9 = (2x-3)(2x+3)$$ $$ x^2-5 = (x-\sqrt[]{5})(x+\sqrt[]{5})$$ $$ 2x^2-3 = (\sqrt[]{2}x-\sqrt[]{3})(\sqrt[]{2}x+\sqrt[]{3}) $$ $$ x^2 - \frac{1}{4} = \left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{1}{2}\right) $$
Działania na wielomianach
Metody rozkładu wielomianów