Analiza nierówności kwadratowej
Nierówność kwadratowa ma postać:
$$ \textcolor{#c85959}{a}x^2+{\color{#2980b9}b}x+\textcolor{#449B47}{c} \quad [>, \geqslant, <, \leqslant] \quad 0 $$
gdzie:
\(\textcolor{#c85959}{a}\) - liczba przy zmiennej \(x^2\)
\(\textcolor{#2980b9}{b}\) - liczba przy zmiennej \(x\)
\(\textcolor{#449B47}{c}\) - wyraz wolny
Warunek podstawowy istnienia wyrażenia kwadratowego:
$$ \textcolor{#c85959}{a}\neq0 $$
Wyznacznikiem równania kwadratowego jest delta:
$$ \triangle = {\color{#2980b9}b}^2-4\textcolor{#c85959}{a}\textcolor{#449B47}{c} $$
rozwiązaniem nierówności kwadratowej może być:
- przedział lub suma przedziałów
jeżeli:
$$ \triangle > 0 $$
w szczególności:
-przedział \( x \in (x_1, x_2) \) lub \( x \in \left< x_1, x_2 \right> \), jeżeli:
$$ \textcolor{#c85959}{a}<0 \quad \land \quad [ >, \geqslant ] $$
lub
$$ \textcolor{#c85959}{a}>0 \quad \land \quad [ <, \leqslant ] $$
-przedział \( x \in (-\infty, x_1) \cup (x_2, \infty) \) lub \( x \in \left( -\infty, x_1 \right> \cup \left< x_2, \infty \right) \), jeżeli:
$$ \textcolor{#c85959}{a}<0 \quad \land \quad [ <, \leqslant ] $$
lub
$$ \textcolor{#c85959}{a}>0 \quad \land \quad [ >, \geqslant ] $$
a także
$$ x_1 = \frac{-{\color{#2980b9}b} - \sqrt[]{\triangle} }{2\textcolor{#c85959}{a}} $$ $$ x_2 = \frac{-{\color{#2980b9}b} + \sqrt[]{\triangle} }{2\textcolor{#c85959}{a}} $$
- punkt: \(x=x_0\)
jeżeli:
$$ \triangle = 0 $$
oraz
$$ \textcolor{#c85959}{a}<0 \quad \land \quad [ \geqslant ] $$
lub
$$ \textcolor{#c85959}{a}>0 \quad \land \quad [ \leqslant ] $$
a także
$$ x_0 = \frac{-{\color{#2980b9}b}}{2\textcolor{#c85959}{a}} $$
- zbiór liczb rzczywistych \(\mathbb{R}\)
jeżeli:
$$ \triangle < 0 $$
oraz
$$ \textcolor{#c85959}{a}<0 \quad \land \quad [ <, \leqslant ] $$
lub
$$ \textcolor{#c85959}{a}>0 \quad \land \quad [ >, \geqslant ] $$
lub:
$$ \triangle = 0 $$
oraz
$$ \textcolor{#c85959}{a}<0 \quad \land \quad [ \leqslant ] $$
lub
$$ \textcolor{#c85959}{a}>0 \quad \land \quad [ \geqslant ] $$
a także
$$ x_0 = \frac{-{\color{#2980b9}b}}{2\textcolor{#c85959}{a}} $$
- zbiór: \(x \in \mathbb{R} \setminus \{x_0\}\) lub inaczej: \(x\neq x_0\)
jeżeli:
$$ \triangle = 0 $$
oraz
$$ \textcolor{#c85959}{a}<0 \quad \land \quad [ < ] $$
lub
$$ \textcolor{#c85959}{a}>0 \quad \land \quad [ > ] $$
a także
$$ x_0 = \frac{-{\color{#2980b9}b}}{2\textcolor{#c85959}{a}} $$
- zbiór pusty \(\varnothing\)
jeżeli:
$$ \triangle = 0 $$
oraz
$$ \textcolor{#c85959}{a}<0 \quad \land \quad [ > ] $$
lub
$$ \textcolor{#c85959}{a}>0 \quad \land \quad [ < ] $$
a także
$$ x_0 = \frac{-{\color{#2980b9}b}}{2\textcolor{#c85959}{a}} $$
lub:
$$ \triangle < 0 $$
oraz
$$ \textcolor{#c85959}{a}<0 \quad \land \quad [ >, \geqslant ] $$
lub
$$ \textcolor{#c85959}{a}>0 \quad \land \quad [ <, \leqslant ] $$
Jak rozwiązać nierówność kwadratową z parametrem ?
1. Nierówność należy doprowadzić do postaci:
$$ \textcolor{#c85959}{a}x^2+{\color{#2980b9}b}x+\textcolor{#449B47}{c} \quad [>, \geqslant, <, \leqslant] \quad 0 $$
$$ \textcolor{#c85959}{1}x^2+{\color{#2980b9}(3m+1)}x+\textcolor{#449B47}{2m^2+2m} < 0 $$
2. W zależności od szukanej postaci rozwiązania nierówności kwadratowej należy rozpisać i rozwiązać równania/nierówności warunkowe.
warunki:
$$ \triangle > 0 $$
$$ \downarrow $$
$$ {\color{#2980b9}b}^2-4\textcolor{#c85959}{a}\textcolor{#449B47}{c} > 0 $$
$$ \downarrow $$
$$ {\color{#2980b9}(3m+1)}^2-4 \cdot \textcolor{#c85959}{1} \cdot \textcolor{#449B47}{\left( 2m^2+2m \right)} > 0 \quad $$
$$ \downarrow $$
$$ (m-1)^2 > 0 $$
$$ \downarrow $$
$$ m \neq 1 $$
$$ -1 = \frac{-{\color{#2980b9}b} - \sqrt[]{\triangle} }{2\textcolor{#c85959}{a}} $$
$$ \downarrow $$
$$ -1 = \frac{-{\color{#2980b9}(3m+1)} - \sqrt[]{(m-1)^2} }{2\cdot \textcolor{#c85959}{1}} \quad $$
$$ \downarrow $$
$$ m = \frac{1}{2} $$
$$ -\frac{3}{2} = \frac{-{\color{#2980b9}b} + \sqrt[]{\triangle} }{2\textcolor{#c85959}{a}} $$
$$ \downarrow $$
$$ -\frac{3}{2} = \frac{-{\color{#2980b9}(3m+1)} + \sqrt[]{(m-1)^2} }{2\cdot \textcolor{#c85959}{1}} \quad $$
$$ \downarrow $$
$$ m = \frac{1}{2} $$
3. Należy zestawić poszczególne wyniki i zapisać ostateczny wynik - część wspólną rozwiązań:
$$ m \neq 1 \quad \land \quad m = \frac{1}{2} \quad \land \quad m = \frac{1}{2} $$
$$ \downarrow $$
$$ m = \frac{1}{2} $$
Odpowiedź:
Nierówność \(x^2 + (3m+1)x + 2m^2+2m < 0\) ma rozwiązanie spełniające warunki zadania dla parametru \( m = \frac{1}{2} \).
