Analiza równania kwadratowego
Równanie kwadratowe ma postać:
$$ \textcolor{#c85959}{a}x^2+{\color{#2980b9}b}x+\textcolor{#449B47}{c}=0 $$
gdzie:
\(\textcolor{#c85959}{a}\) - liczba przy zmiennej \(x^2\)
\(\textcolor{#2980b9}{b}\) - liczba przy zmiennej \(x\)
\(\textcolor{#449B47}{c}\) - wyraz wolny
Warunek podstawowy istnienia wyrażenia kwadratowego:
$$ \textcolor{#c85959}{a}\neq0 $$
Wyznacznikiem równania kwadratowego jest delta:
$$ \triangle = {\color{#2980b9}b}^2-4\textcolor{#c85959}{a}\textcolor{#449B47}{c} $$
Założenia dotyczące rozwiązań (pierwiastków) równania kwadratowego:
- dwa pierwiastki
jeżeli:
$$ \triangle\geqslant0 $$
w szczególności, jeżeli równanie ma dwa różne pierwiastki, to:
$$ \triangle > 0 $$
- dwa jednakowe pierwiastki
jeżeli:
$$ \triangle = 0 $$
- brak pierwiastków
jeżeli:
$$ \triangle < 0 $$
Założenia dotyczące znaku rozwiązań (pierwiastków) równania kwadratowego:
- jeżeli oba pierwiastki są różne od zera \(x_1\neq0\) i \(x_2\neq0\) to:
$$ x_1 \cdot x_2 \neq 0 $$
- jeżeli oba pierwiastki mają ten sam znak to:
$$ x_1 \cdot x_2>0 $$
- jeżeli oba pierwiastki są dodatnie:
$$ x_1\cdot x_2>0 \quad \land \quad x_1+x_2>0$$
- jeżeli oba pierwiastki są ujemne:
$$ x_1\cdot x_2>0 \quad \land \quad x_1+x_2<0$$
- jeżeli pierwiastki mają różne znaki:
$$ x_1\cdot x_2<0 $$
Inne warunki, które można spotkać w zadaniach:
warunki te należy doprowadzić do postaci działań złożonych tylko i wyłącznie z sum: \(x_1+x_2\) i iloczynów: \(x_1\cdot x_2\), dzięki temu możliwe będzie wykorzystanie wzorów Viete'a.
- suma kwadratów rozwiązań
$$ {x_1}^2+{x_2}^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 $$
- kwadrat sumy rozwiązań
$$ (x_1+x_2)^2 $$
- kwadrat różnicy rozwiązań
$$ (x_1-x_2)^2 = {x_1}^2 + {x_2}^2 - 2x_1x_2= $$ $$ =(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$$
- suma odwrotności rozwiązań
$$ \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} $$
- suma odwrotności kwadratów rozwiązań
$$ \frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1^2x_2^2}= $$ $$ =\frac{(x_1 + x_2)^2 -2x_1x_2}{(x_1x_2)^2} $$
- suma sześcianów rozwiązań
$$ {x_1}^3+{x_2}^3 = (x_1+x_2)({x_1}^2 + {x_2}^2 - x_1x_2) = $$ $$ =(x_1 + x_2)((x_1+x_2)^2-3x_1x_2) $$
Jak rozwiązać równanie kwadratowe z parametrem ?
1. Równanie należy doprowadzić do postaci:
$$ \textcolor{#c85959}{a}x^2+{\color{#2980b9}b}x+\textcolor{#449B47}{c}=0 $$
$$ \textcolor{#c85959}{1}x^2+{\color{#2980b9}4}x\textcolor{#449B47}{-\frac{m-3}{m-2}}=0 $$
2. W zależności od szukanej ilości rozwiązań równania kwadratowego oraz treści zadania należy rozpisać i rozwiązać równania/nierówności warunkowe.
warunki:
- Aby równanie kwadratowe miało dwa różne rozwiązania musi zostać spełniony warunek:
$$ \triangle > 0 $$
- Drugi warunek podany jest w treści zadania:
$$ x_1^3+x_2^3 > -28 $$
$$ \triangle > 0 $$
$$ \downarrow $$
$$ {\color{#2980b9}b}^2-4\textcolor{#c85959}{a}\textcolor{#449B47}{c} > 0 $$
$$ \downarrow $$
$$ {\color{#2980b9}4}^2-4 \cdot \textcolor{#c85959}{1} \cdot \textcolor{#449B47}{\left(-\frac{m-3}{m-2}\right)} > 0 \quad$$
$$ \downarrow $$
$$ 20(m-2)(m-\frac{11}{5}) > 0 $$
$$ \downarrow $$
$$ m \neq 2 $$
$$ m \in (-\infty, 2) \cup \left( \frac{11}{5}, \infty \right) $$
$$ x_1^3+x_2^3 > -28 $$
$$ \downarrow $$
$$ (x_1 + x_2)((x_1+x_2)^2-3x_1x_2) > -28 $$
$$ \downarrow $$
$$ -\frac{{\color{#2980b9}b}}{\textcolor{#c85959}{a}} \left( \left( -\frac{{\color{#2980b9}b}}{\textcolor{#c85959}{a}} \right)^2 - 3\cdot \frac{\textcolor{#449B47}{c}}{\textcolor{#c85959}{a}} \right) > -28 $$
$$ \downarrow $$
$$ -\frac{{\color{#2980b9}4}}{\textcolor{#c85959}{1}} \left( \left( -\frac{{\color{#2980b9}4}}{\textcolor{#c85959}{1}} \right)^2 - 3\cdot \frac{\textcolor{#449B47}{\left(-\frac{m-3}{m-2}\right)}}{\textcolor{#c85959}{1}} \right) > -28 \quad$$
$$ \downarrow $$
$$ -(m-2)(48m-108) > 0 $$
$$ \downarrow $$
$$ x \in \left( 2, \frac{9}{4} \right) $$
3. Należy zestawić poszczególne wyniki i zapisać ostateczny wynik - część wspólną rozwiązań:
$$ m \neq 2 \quad \land \quad m \in (-\infty, 2) \cup \left( \frac{11}{5}, \infty \right) \quad \land \quad x \in \left( 2, \frac{9}{4} \right) \quad $$
$$ \downarrow $$
$$ m \in \left( \frac{11}{5}, \frac{9}{4} \right) $$
Odpowiedź:
Równanie \(x^2 + 4x - \frac{m-3}{m-2} = 0\) ma dwa różne rozwiązania spełniające warunki zadania dla parametru \( m \in \left( \frac{11}{5}, \frac{9}{4} \right) \).
