Matura 2025

>

Równania i nierówności

>

poziom podstawowy:

Nierówność kwadratowa

Nierówność kwadratowa

poziom podstawowy

Czym jest nierówność kwadratowa (nierówność drugiego stopnia) ?

Nierówność kwadratowa - to nierówność, w której występuje \(x^2\) - zmienna w drugiej potędze (i jednocześnie jest to największa potęga w nierówności) np.:

$$ x^2>4 $$

lub

nierówność w postaci iloczynowej, której wyrażenia są wyrażeniami liniowymi i jest ich dokładnie dwa. (po opuszczeniu nawiasów - czyli wymnożeniu tych wyrażeń otrzymamy wyrażenie kwadratowe) np.:

$$ (x-1)(x+2)<0 $$

Jak rozwiązać nierówność kwadratową ?

1a. Jeżeli nierówność jest w postaci iloczynowej:

$$ \textcolor{#c85959}{a}\left(x-\textcolor{#FFA700}{x_1}\right)\left(x-\textcolor{#FFA700}{x_2}\right) \quad [>, \geqslant, <, \leqslant] \quad 0 $$

lub

$$ \textcolor{#c85959}{a}\left(x-\textcolor{#FFA700}{x_0}\right)^2 \quad [>, \geqslant, <, \leqslant] \quad 0 $$

wtedy każdy czynnik równania przyrównujemy do zera i rozwiązujemy tak powstałe równania liniowe:

$$ \textcolor{#c85959}{a} $$ $$ \downarrow $$ $$ x\in \varnothing $$

$$ x+\textcolor{#FFA700}{x_1} $$ $$ \downarrow $$ $$ x=\textcolor{#FFA700}{-x_1} $$

$$ x-\textcolor{#FFA700}{x_2} $$ $$ \downarrow $$ $$ x=\textcolor{#FFA700}{x_2} $$

lub

$$ \textcolor{#c85959}{a} $$ $$ \downarrow $$ $$ x\in \varnothing $$

$$ x-\textcolor{#FFA700}{x_0} $$ $$ \downarrow $$ $$ x = \textcolor{#FFA700}{x_0} $$

W przypadku nierówności kwadratowych w postaci iloczynowej rozwiązania mogą być dwa (delta wyrażenia kwadratowego jest dodatnia) lub jedno (delta wyrażenia kwadratowego jest równa zero). Posiadając rozwiązania przejdź do punktu nr. 5.


1b. Jeżeli nierówność jest w postaci ogólnej przejdź do punktu nr. 2.


2. Za pomocą podstawowych operacji przekształacania nierówności oraz podstawowych operacji matematyczych porządkujemy nierówność tak, aby po jednej stronie znaku nierówności były wszystkie wyrażenia z \(x\)-em oraz liczby a po drugiej stronie zero:

$$ \textcolor{#c85959}{a}x^2+\textcolor{#2980b9}{b}x+\textcolor{#449B47}{c} \quad [>, \geqslant, <, \leqslant] \quad 0 $$

Pamiętaj !!!

Obustronne mnożenie lub dzielenie nierówności przez liczbę ujemną powoduje zmianę znaku nierówności na przeciwny.

3. Po uporządkowaniu nierówności kwadratowej zgodnie z tymi zasadami możliwe jest otrzymanie jednego z trzech rozwiązań:

  • nierówność oznaczona

    • $$ ax^2+bx+c \quad [>, \geqslant, <, \leqslant] \quad 0 $$

    Jeżeli po uporządkowaniu nierówności po jednej stronie mamy co najmniej wyrażenie z \(x^2\) to o ilości jego rozwiązań decyduje wartość parametru delta:

    $$ \triangle=b^2-4ac $$

    (ciąg dalszy w punkcie nr. 4)

    Nierówność, która po przekształceniach osiąga taką postać nazywana jest nierównością oznaczoną.

  • nierówność tożsamościowa (nieoznaczona)

    • $$ d \quad [>, \geqslant, <, \leqslant] \quad e $$

    Jeżeli po uporządkowaniu nierówności wyrażenia z \(x\)-em 'znikną' a pomiędzy otrzymanymi liczbami zachodzi poprawna nierówność, ponieważ \(2\) jest większe od \(0\) to rozwiązaniem takiej nierówności są wszystkie liczby rzeczywiste:

    $$ x\in \mathbb{R} $$

    lub możemy zapisać w postaci przedziału:

    $$ x\in \left( -\infty, \infty\right) $$

    Nierówność, która po przekształceniach osiąga taką postać nazywana jest nierównością tożsamościową lub nieoznaczoną.

  • nierówność sprzeczna

    • $$ e \quad [>, \geqslant, <, \leqslant] \quad d $$

    Jeżeli po uporządkowaniu nierówności wyrażenia z \(x\)-em 'znikną' a pomiędzy otrzymanymi liczbami zachodzi błędna nierówność, ponieważ \(-5\) nie jest większe od \(0\) w matematyce określamy to sprzecznością i w takim przypadku nierówność nie ma rozwiązań:

    $$ x\in \varnothing $$

    (\(x\) należy do zbioru pustego)

    Nierówność, która po przekształceniach osiąga taką postać nazywana jest nierównością sprzeczną.

4. Jeżeli rozpatrywana nierówność jest nierównością oznaczoną to obliczamy deltę \(\triangle\) wyrażenia kwadratowego ze wzoru:

$$ \triangle=\textcolor{#2980b9}{b}^2-4\textcolor{#c85959}{a}\textcolor{#449B47}{c} $$

5. Szkicujemy wykres wyrażenia kwadratowego i zaznaczamy rozwiązanie nierówności. W zależności od wyniku delty \(\triangle\) mamy trzy możliwości:

  • delta dodatnia

    • $$ \triangle>0 $$

    Jeżeli wynik delty jest liczbą dodatnią to wykres wyrażenia kwadratowego 'przecina' oś \(x\) w dwóch punktach:

    $$ x_1=\frac{-{\color{#2980b9}b}-\sqrt\triangle}{2{\color{#c85959}a}} $$ $$ x_2=\frac{-{\color{#2980b9}b}+\sqrt\triangle}{2{\color{#c85959}a}} $$

    wykres wyrażenia kwadratowego w zależności od wartości liczby \({\color{#c85959}a}\) przy \(x^2\) ma postać:

    x x 2 x 1

    rozwiązanie nierówności w zależności od znaku nierówności ma postać:

    wybierz znak nierówności

  • delta zerowa

    • $$ \triangle=0 $$

    Jeżeli wynik delty jest równy zero to wykres wyrażenia kwadratowego 'przecina' oś \(x\) w jednym punkcie:

    $$ x_0=\frac{-{\color{#2980b9}b}}{2{\color{#c85959}a}} $$

    wykres wyrażenia kwadratowego w zależności od wartości liczby \({\color{#c85959}a}\) przy \(x^2\) ma postać:

    x x 0

    rozwiązanie nierówności w zależności od znaku nierówności ma postać:

    wybierz znak nierówności

  • delta ujemna

    • $$ \triangle< 0 $$

    Jeżeli wynik delty jest liczbą ujemną to wykres wyrażenia kwadratowego nie 'przecina' osi \(x\).

    Wykres wyrażenia kwadratowego w zależności od wartości liczby \({\color{#c85959}a}\) przy \(x^2\) ma postać:

    x

    rozwiązanie nierówności w zależności od znaku nierówności ma postać:

    wybierz znak nierówności

Nierówność z wartością bezwzględną
Nierówność wielomianowa