Obliczenia procentowe

poziom podstawowy

Teoria

Czym jest procent?

Procent to jednostka oznaczana symbolem $\%$, która określa ilości lub wielkości w stosunku do całości, gdzie całość definiujemy jako 100%. Procent definiujemy jako część całości wyrażoną w ułamku:

$$ 1\% = \frac{1}{100} = 0,01 $$

Bazową umiejętnością związaną z procentami, jest umiejętność zamiany wartości procentowej na wartość w postaci ułamka dziesiętnego. Aby to uczynić należy podzielić wartość wyrażoną w procentach przez $100$:

$$1\% = \frac{1}{100} = 0,01$$

Procent z liczby

Jeżeli chcemy obliczyć dowolną wartość procentową z konkretnej liczby, np.:

$20\%$ z liczby $70$

Zamieniamy wartość procentową na ułamek dziesiętny:

$20\% = 0,2$
Mnożymy daną liczbę przez wartość procentową wyrażoną w postaci ułamka dziesiętnego:

$$70 \cdot 0,2 = 14$$

Procent prosty

Procent prosty to metoda oprocentowania wkładu pieniężnego, w której odsetki są naliczane tylko od początkowej kwoty depozytu (lub kapitału). Po zakończonym okresie rozliczeniowym odestki nie są dodawane do kapitału. Co oznacza, że w każdym kolejnym okresie rozliczeniowy otrzymamy jednakową kwotę odsetek.

przykład:

Deponujemy $10 \; 000 \; zł$ na okres $3$ lat na lokacie z rocznym oprocentowaniem $4\%$, gdzie odsetki naliczane są od wartości nominalnej po każdym rocznym okresie odsetkowym.

Określamy kwotę odsetek po jedym okresie rozliczeniowym (czyli jednym roku). W tym celu obliczamy $4\%$ z kwoty $10 \; 000 \; zł$:

$$ 10 \; 000 \; zł \cdot 0,04 = 400 \; zł $$

Dzięki tej informacji możemy obliczyć kolejno:

kwotę odsetek uzyskanych na koniec okresu oszczędzania ($3$ lat):

$$ 400 \; zł \cdot 3 = 1200 \; zł $$
wartość lokaty na koniec okresu oszczędzania ($3$ lat):

$$ 10 \; 000 \; zł + (400 \; zł \cdot 3) = 11 \; 200 \; zł $$

Procent składany

Procent składany to metoda oprocentowania wkładu pieniężnego, w której odsetki są naliczane nie tylko od początkowej kwoty depozytu (lub kapitału), ale również od naliczonych wcześniej odsetek. Oznacza to, że odsetki są dodawane do kapitału na koniec każdego okresu rozliczeniowego, co powoduje wzrost kapitału i zwiększa kwotę odsetek naliczanych w każdym kolejnym okresie rozliczeniowym.

We wzorach maturalnych znajduje się wzór do obliczeń procentu składanego:

$$ K_n = K_0 \cdot \left(1+\frac{p}{100}\right)^n $$

gdzie:

$K_n$ - kapitał końcowy

$K_0$ - kapitał początkowy

$p$ - oprocentowanie w skali roku

$n$ - okres lokaty (w latach)

przykład:

Deponujemy $10 \; 000 \; zł$ na okres $3$ lat na lokacie z rocznym oprocentowaniem $4\%$, gdzie odsetki są naliczane od wartości nominalnej i są kapitalizowane po każdym rocznym okresie odsetkowym.

Korzystając ze wzoru:

$$ K_n = 10 \; 000 \; zł \cdot \left(1+\frac{4}{100}\right)^3 = 11 \; 248,64 \; zł $$

Poniżej obliczenia bez korzystania ze wzoru:

Określamy kwotę odsetek po pierwszym okresie rozliczeniowym (czyli jednym roku). W tym celu obliczamy $4\%$ z kwoty $10 \; 000 \; zł$:

$$ 10 \; 000 \; zł \cdot 0,04 = 400 \; zł $$

w drugim roku oszczędzania kwota podlegająca oprocentowaniu to suma kapitału początkowego i odsetek po pierwszym roku:

$$ 10 \; 000 \; zł + 400 \; zł = 10 \; 400 \; zł $$

po drugim okresie rozliczeniowym kwota odsetek wynosi:

$$ 10 \; 400 \; zł \cdot 0,04 = 416 \; zł $$

w trzecim roku oszczędzania kwota podlegająca oprocentowaniu to suma kapitału początkowego i dotychczasowych odsetek:

$$ 10 \; 000 \; zł + 400 \; zł + 416 \; zł = 10 \; 816 \; zł $$

po trzecim - ostatnim okresie rozliczeniowym kwota odsetek wynosi:

$$ 10 \; 816 \; zł \cdot 0,04 = 432,64 \; zł $$

kwota odsetek uzyskanych na koniec okresu oszczędzania ($3$ lat) wynosi:

$$ 400 \; zł + 416 \; zł + 432,64 \; zł = 1248,64 \; zł $$
wartość lokaty na koniec okresu oszczędzania ($3$ lat) wynosi:

$$ 10 \; 000 \; zł + 1248,64 \; zł = 11 \; 248,64 \; zł $$

Przedziały liczbowe

Wartość bezwzględna

Google Analytics
Wykorzystujemy to narzędzie do gromadzenia danych statystycznych na temat zachowań internautów na naszej stronie internetowej. Te informacje obejmują m.in. liczbę odwiedzających, źródło ich przekierowania na stronę, odwiedzane zakładki, informację geograficzne czy czas spędzony na stronie.