Wartość bezwzględna

poziom podstawowy

Teoria

Definicja - interpretacja algebraiczna wartości bezwzględnej

$$ |a| = \begin{cases} a \quad \text{dla} \quad a \geqslant 0 \\ -a \quad \text{dla} \quad a<0 \end{cases} $$

Wartość bezwzględną oznaczamy za pomocą symbolu $|...|$ - pionowej kreski po obu stronach liczby. Wartość bezwzględna zamiennie nazywana jest modułem.

Każde zadanie matematyczne, w którym pojawi się moduł będzie wymagało opuszczenia symbolu, czyli wyznaczenia wartości bezwzględnej danej liczby. Zasada jest prosta: w przypadku, gdy wewnątrz modułu jest liczba dodatnia to wynikiem będzie dokładnie taka sama liczba. Natomiast w przypadku liczby ujemnej wynikiem jest ta sama liczba z przeciwnym znakiem (mówiąc inaczej zawartość modułu przemnożona przez $-1$):

$$ |0| = 0 $$

Wartość bezwględna wyrażeń z x-em

W przypadku, kiedy mamy doczynienia z wyrażeniem z $x$-em wewnątrz modułu nie jesteśmy w stanie określić czy to wyrażenie jest dodatnie czy ujemnie (bo w zależności od tego jaką wartość przyjmie $x$ może być z tym różnie). W takim przypadku opuszczając moduł musimy rozpisać dwa przypadki:

- pierwszy: zakładający, że wartość w module jest dodatnia

- drugi: zakładający, że wewnątrz modułu jest wartość ujemna

$$\|x-5\|$$

$ x-5 $		$ -x+5 $

Taką sytuację wykorzystujemy w przypadku rozwiązywania równań i nierówności z wartością bezwzględną.

Intergpretacja geometryczna wartości bezwzględnej

Interpretacją geometryczną wartości bezwzględnej jest odległość od punktu $0$ na osi liczbowej:

$$ |2|=2 $$

W przypadku równań $\left(=\right) $ interpretacją geometryczną jest punkt lub zbiór punktów np.:

$$ \|x-2\|=2 $$
$ x-2 = 2 $		$ -x+2 = 2 $
$ x = 4 $		$ x = 0 $

$$ x \in \{0, 4\} $$

W przypadku nierówności $\left(<, \leqslant, >, \geqslant\right) $ interpretacją geometryczną jest przedział liczbowy:

$$ \|x-2\| \geqslant 1 $$
$ x-2 \geqslant 1 $		$ -x+2 \geqslant 1 $
$ x \geqslant 3 $		$ x \leqslant 1 $

$$ x \geqslant 3 \quad \land \quad x \leqslant 1 $$

Obliczenia procentowe

Dowodzenie twierdzeń

$$ \|x-2\|=2 $$
\( x-2 = 2 \)		\( -x+2 = 2 \)
\( x = 4 \)		\( x = 0 \)

$$ \|x-2\| \geqslant 1 $$
\( x-2 \geqslant 1 \)		\( -x+2 \geqslant 1 \)
\( x \geqslant 3 \)		\( x \leqslant 1 \)

Google Analytics
Wykorzystujemy to narzędzie do gromadzenia danych statystycznych na temat zachowań internautów na naszej stronie internetowej. Te informacje obejmują m.in. liczbę odwiedzających, źródło ich przekierowania na stronę, odwiedzane zakładki, informację geograficzne czy czas spędzony na stronie.