Twierdzenie o całkowitych pierwiastkach wielomianu

O czym mówi twierdzenie o całkowitych pierwiastkach wielomianu ?

Jeżeli mamy wielomian, w którym każdy ze współczynników jest liczbą całkowitą, np.:

to aby znaleźć jego pierwiastki (rozwiązania) całkowite:

• wyznaczamy całkowite dzielniki wyrazu wolnego wielomianu:
$$ W(x)=x^4-3x^3+5x-\underline3 $$

wyrazem wolnym wielomianu \(W(x)\) jest liczba \(3\), jego dzielnikami są:

$$ -1,1,-3,3 $$
• Każdy z wyznaczonych dzielników podstawiamy do wielomianu w miejsce \(x\) i sprawdzamy, który dzielnik doprowadzi do wyniku równego zero:

\(W(-1)=(-1)^4-3\cdot (-1)^3+5\cdot (-1)-3=1+3-5-4=-4\)

\(\color{#C85959}W(1)=1^4-3\cdot 1^3+5\cdot 1-3=1-3+5-3=0\)

\(W(-3)=(-3)^4-3\cdot (-3)^3+5\cdot (-3)-3=81+81-15-3=144\)

\(W(3)=3^4-3\cdot 3^3+5\cdot 3-3=81-81+15-3=12\)

Wszystkie dzielniki, które spowodują wyzerowanie się wielomianu na mocy twierdzenia są pierwiastkami wielomianu \(W(x)\):

$$ x=1 $$