Matura 2025

>

Wyrażenia algebraiczne

>

poziom rozszerzony:

Wzory skróconego mnożenia

Wzory skróconego mnożenia

poziom rozszerzony

Wzory skróconego mnożenia

  • sześcian sumy:

    • $$ (a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 $$

    przykłady:

    $$ (x+5)^2 = x^2+10x+25 $$ $$ (2x+3)^2 = 4x^2+12x+9 $$ $$ (x+\sqrt[]{2})^2 = x^2+2\sqrt[]{2}x+2 $$ $$ \left(x+\frac{1}{2}\right)^2 = x^2+x+\frac{1}{4} $$ $$\begin{eqnarray} (2+\sqrt[]{3})^2 &=& 4+2\sqrt[]{3}+3 \\\ &=& 7+2\sqrt[]{3} \end{eqnarray}$$
  • sześcian różnicy:

    • $$ (a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 $$

    przykłady:

    $$ (x-2)^2 = x^2-4x+4^2 $$ $$ (3x-5)^2 = 9x^2-30x+25 $$ $$ (2x-\sqrt[]{5})^2 = 4x^2-4\sqrt[]{5}x+5 $$ $$ \left(x-\frac{2}{3}\right)^2 = x^2-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9} $$ $$\begin{eqnarray} (1-\sqrt[]{5})^2 &=& 1-2\sqrt[]{5}+5 \\\ &=& 6-2\sqrt[]{5} \end{eqnarray}$$
  • suma sześcianów:

    • $$ a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) $$

    przykłady:

    $$ (x+5)^2 = x^2+10x+25 $$ $$ (2x+3)^2 = 4x^2+12x+9 $$ $$ (x+\sqrt[]{2})^2 = x^2+2\sqrt[]{2}x+2 $$ $$ \left(x+\frac{1}{2}\right)^2 = x^2+x+\frac{1}{4} $$ $$\begin{eqnarray} (2+\sqrt[]{3})^2 &=& 4+2\sqrt[]{3}+3 \\\ &=& 7+2\sqrt[]{3} \end{eqnarray}$$
  • różnica sześcianów:

    • $$ a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $$

    przykłady:

    $$ (x-2)^2 = x^2-4x+4^2 $$ $$ (3x-5)^2 = 9x^2-30x+25 $$ $$ (2x-\sqrt[]{5})^2 = 4x^2-4\sqrt[]{5}x+5 $$ $$ \left(x-\frac{2}{3}\right)^2 = x^2-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9} $$ $$\begin{eqnarray} (1-\sqrt[]{5})^2 &=& 1-2\sqrt[]{5}+5 \\\ &=& 6-2\sqrt[]{5} \end{eqnarray}$$
Działania na wyrażeniach wymiernych
Twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianów