Działania na wyrażeniach wymiernych

Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych

• Jeżeli mianowniki wyrażeń są różne, należy przekształcić wyrażenia tak, aby miały te same mianowniki. Wspólnym mianownikiem jest iloczyn mianowników poszczególnych wyrażeń:
  $$ \frac{x-1}{\color{#2980b9}x+2}-\frac{2}{\color{#C85959}x}= $$ $$ = \frac{x(x-1)}{{\color{#C85959}x}{\color{#2980b9}(x+2)}}+\frac{2(x+2)}{{\color{#C85959}x}{\color{#2980b9}(x+2)}} $$
• Zapisujemy działanie w postaci jednego ułamka:
  $$= \frac{x(x-1)-2(x+2)}{x(x+2)} $$

  Uwaga !

  To co otrzymaliśmy w liczniku nie jest postacią iloczynową, ponieważ pomiędzy czynnikami znajduje się znak odejmowania (a powinny być tylko znaki mnożenia).

  W takim wypadku nie można skracać elementów podobnych z licznika i mianownika !

• Wykonujemy obliczenia w liczniku tak, aby pozbyć się znaku dodawania/odejmowania:
  $$\frac{x(x-1)-2(x+2)}{x(x+2)} =$$ $$= \frac{x^2-x-2x-4}{x(x+2)} =$$ $$=\frac{x^2-3x-4}{x(x+2)} $$
• Za pomocą metod rozkładu wielomianu próbujemy przekształcić uzyskany wielomian w liczniku do postaci iloczynowej:
  $$\frac{\color{#2980b9}x^2-3x-4}{x(x+2)} =$$ $$= \frac{\color{#2980b9}(x+1)(x-4)}{x(x+2)}$$
• Jeżeli udało nam się przekształcić licznik do postaci iloczynowej to na koniec szukamy możliwości skrócenia wyrazów podobnych w liczniku i mianowniku, w przypadku ich braku kończymy działanie:
  $$ \frac{(x+1)(x-4)}{x(x+2)} $$

Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych

mnożenie:

• Bez względu na to, czy mianowniki są identyczne czy różne - mnożymy licznik z licznikiem a mianownik z mianownikiem:
  $$ \frac{x^2-1}{x+1}\cdot \frac{x+1}{x} = \frac{(x^2-1)(x+1)}{(x+1)x} $$

  Uwaga !

  Zawsze przeanalizuj poszczególne wyrażenia pod względem tego, czy nie da się ich jeszcze bardziej rozłożyć na czynniki.

  Zauważ, że wyrażenie w liczniku \((x^2-1)\) da się rozłożyć na iloczyn: \((x-1)(x+1)\)

  Zatem wyrażenie ma postać:

  $$\frac{(x-1){\color{#2980b9}(x+1)(x+1)}}{(x+1)x}$$

  Jeżeli w liczniku lub mianowniku obok siebie stoją identyczne wyrażenia to możemy je zapisać z wykorzystaniem potęgi:

  $$\frac{(x-1)(x+1)^{\color{#2980b9}2}}{(x+1)x}$$
• Dokonujemy skrócenia wyrazów podobnych w liczniku i mianowniku (o ile istnieją):
  $$\frac{(x-1)(x+1)^\cancel{2}}{\cancel{(x+1)}x} = \frac{(x-1)(x+1)}{x}$$

dzielenie:

• Operację dzielenia wyrażeń wymiernych należy przeształcić w operację mnożenia poprzez odwrócenie wyrażenia będącego dzielnikiem:
  $$ \frac{2x-1}{x+3}:{\color{#2980b9}\frac{x-\frac{1}{2}}{x+2}} = \frac{2x-1}{x+3}\cdot {\color{#2980b9}\frac{x+2}{x-\frac{1}{2}}}$$
• Wykonujemy mnożenie wyrażeń wymiernych:
  $$ \frac{2x-1}{x+3}\cdot \frac{x+2}{x-\frac{1}{2}} = \frac{(2x-1)(x+2)}{(x+3)(x-\frac{1}{2})} $$
• Dokonujemy skrócenia wyrazów podobnych w liczniku i mianowniku (o ile istnieją):

  Uwaga !

  Na pierwszy rzut oka nie widać wyrazów podobnych.

  Aby nie przeoczyć żadnego wyrazu podobnego należy doprowadzać każdy czynnik w nawiasie do postaci \((x+/-a)\) - czyli tak, aby przy \(x\) nie było liczby większej niż \(1\).

  Zauważ, że wyrażenie w liczniku \((2x-1)\) da się przekształcić poprzez wyciągnięcie \(2\) przed nawias do postaci: \(2(x-\frac{1}{2})\)

  Zatem wyrażenie ma postać:

  $$\frac{2(x-\frac{1}{2})(x+2)}{(x+3)(x-\frac{1}{2})}$$

  Teraz, gdy już widać wyrazy podobne, należy je skrócić:

  $$ \frac{2\cancel{(x-\frac{1}{2})}(x+2)}{(x+3)\cancel{(x-\frac{1}{2})}} = \frac{2(x+2)}{x+3} $$