Matura 2025

>

Równania i nierówności

>

poziom podstawowy:

Nierówność liniowa

Nierówność liniowa

poziom podstawowy

Czym jest nierówność liniowa ?

Nierówność liniowa - to nierówność, w której występuje niewiadoma \(x\) tylko w pierwszej potędze, np.:

$$ x+1>0 $$

Jak rozwiązać nierówność liniową ?

1. Nierówność należy doprowadzić do postaci:

$$ \textcolor{#c85959}{a}x+\textcolor{#449B47}{b} \quad [>, \geqslant, <, \leqslant] \quad 0 $$

2. Za pomocą podstawowych operacji przekształacania nierówności grupujemy nierówność tak, aby po jednej stronie znaku porównania były tylko wyrażenia z \(x\)-em a po drugiej stronie same liczby:

$$ \textcolor{#c85959}{a}x \quad [>, \geqslant, <, \leqslant] \quad \textcolor{#449B47}{b} $$

3. Za pomocą podstawowych operacji matematyczych: dodawania, odejmowania, mnożenia lub dzielenia doprowadzamy nierówność do postaci, w której po jednej strone jest sam \(x\) a po drugiej jedna liczba:

$$ x \quad [>, \geqslant, <, \leqslant] \quad c $$

Pamiętaj !!!

Obustronne mnożenie lub dzielenie nierówności przez liczbę ujemną powoduje zmianę znaku nierówności na przeciwny.

4. Po uporządkowaniu nierówności liniowej zgodnie z tymi zasadami możliwe jest otrzymanie jednego z trzech rozwiązań:

  • nierówność oznaczona

    • $$ x \quad [>, \geqslant, <, \leqslant] \quad c $$

    Jeżeli doprowadzimy nierówność liniową do postaci, w której po jednej stronie mamy \(x\) a po drugiej stronie liczbę \(c\) to rozwiązaniem nierówności jest przedział liczbowy:

    $$ x \quad [>, \geqslant, <, \leqslant] \quad c $$

    Nierówność, która posiada takie rozwiązanie nazywana jest nierównością oznaczoną.

  • nierówność tożsamościowa (nieoznaczona)

    • $$ c \quad [>, \geqslant, <, \leqslant] \quad e $$

    Jeżeli doprowadzimy nierówność liniową do postaci, w której po obu stronach uzyskamy liczby i nierówność między nimi jest prawdziwa to rozwiązaniem takiej nierówności są wszystkie liczby rzeczywiste:

    $$ x\in \mathbb{R} $$

    lub możemy zapisać w postaci przedziału:

    $$ x\in \left( -\infty, \infty\right) $$

    Nierówność, która posiada takie rozwiązanie nazywana jest nierównością tożsamościową lub nieoznaczoną.

  • nierówność sprzeczna

    • $$ e \quad [>, \geqslant, <, \leqslant] \quad c $$

    Jeżeli doprowadzimy nierówność liniową do postaci, w kórej po obu stronach uzyskamy liczby i nierówność między nimi jest nieprawdziwa - w matematyce określamy to sprzecznością i w takim przypadku nierówność nie ma rozwiązań:

    $$ x\in \varnothing $$

    (\(x\) należy do zbioru pustego)

    Nierówność, która nie posiada rozwiązań nazywana jest nierównością sprzeczną.

Równanie wymierne
Nierówność z wartością bezwzględną