Wprowadzenie do równań i nierówności

Formalnym sposobem przenoszenia elementu z jednej strony równania na drugą jest wykonanie operacji dodawania/odejmowania (działania odwrotnego do znaku elementu) na obu stronach równania:

$x$	$=$	$2x-1$	$/ \textcolor{#2980b9}{+1}$
$x\textcolor{#2980b9}{+1}$	$=$	$2x-1\textcolor{#2980b9}{+1}$
$x+1$	$=$	$2x$

Obustronne mnożenie/dzielenie

Możliwe jest obustronne mnożenie lub dzielenie równania zarówno przez liczby dodatnie jak i ujemne, np:

$-2x$	$=$	$-4$	$/ \cdot \left(-1\right)$
$2x$	$=$	$4$	$/ : 2$
$x$	$=$	$2$

Czym jest nierówność ?

Nierówność to wyrażenie matematyczne składające się z dwóch wyrażeń algebraicznych, pomiędzy którymi znajduje się jeden ze znaków nierówności: $<, \leqslant, >, \geqslant $.

W tym dziale poznasz:

Nierówności liniowe np.:

$$ 2x - 3 > 6x + 2 - x $$

Nierówności z wartością bezwzględną np.:

$$ |x-5|+1 > 3 $$

Nierówności kwadratowe np.:

$$ x^2 - 3 > 2x + 4$$

Nierówności wielomianowe np.:

$$ -x^3-5x^2+7x+60 < 0 $$

Nierówności wymierne np.:

$$ \frac{x+1}{x-2} < \frac{2}{x+1} $$

Nierówności z dwiema wartościami bezwzględnymi np.:

$$ |x-2|-10 < |x-3| $$

Nierówności liniowe z parametrem np.:

$$ 2x + k-1 \geqslant 0 $$

Nierówności kwadratowe z parametrem np.:

$$ (m-1)x^2+2x+m-3 \leqslant 0 $$

Zasady przekształcania nierówności

Przenoszenie wyrażeń

Jeżeli chcemy przenieść dowolny element nierówności z jednej strony na drugą to po jego przeniesieniu element ten zmienia znak na przeciwny, np:

$3x+1$	$\geqslant$	$2\textcolor{#2980b9}{+x}$
$3x+1\textcolor{#2980b9}{-x}$	$\geqslant$	$2$
$2x+1$	$\geqslant$	$2$

Formalnym sposobem przenoszenia elementu z jednej strony nierówności na drugą jest wykonanie operacji dodawania/odejmowania (działania odwrotnego do znaku elementu) na obu stronach nierówności:

$3x+1$	$\geqslant$	$2+x$	$/ \textcolor{#2980b9}{-x}$
$3x+1\textcolor{#2980b9}{-x}$	$\geqslant$	$2+x\textcolor{#2980b9}{-x}$
$2x+1$	$\geqslant$	$2$

Obustronne mnożenie/dzielenie

Możliwe jest obustronne mnożenie oraz dzielenie nierówności przez:

liczby dodatnie

nie wpływa na znak nierówności, np.:

$\frac{3}{2}x$	$\geqslant$	$3$	$/ \cdot 2$
$3x$	$\geqslant$	$6$	$/ : 3$
$x$	$\geqslant$	$2$

liczby ujemne

nierówność zmienia znak na przeciwny, np.:

$-3x$	$\geqslant$	$6$		$/ : \left(-3\right)$
$x$	$\color{#2980b9}\leqslant$	$2$

Równania i nierówności

Równanie liniowe

\(x\)	\(=\)	\(2x\textcolor{#2980b9}{-1}\)
\(x\textcolor{#2980b9}{+1}\)	\(=\)	\(2x\)

\(x\)	\(=\)	\(2x-1\)	\(/ \textcolor{#2980b9}{+1}\)
\(x\textcolor{#2980b9}{+1}\)	\(=\)	\(2x-1\textcolor{#2980b9}{+1}\)
\(x+1\)	\(=\)	\(2x\)

\(-2x\)	\(=\)	\(-4\)	\(/ \cdot \left(-1\right)\)
\(2x\)	\(=\)	\(4\)	\(/ : 2\)
\(x\)	\(=\)	\(2\)

\(3x+1\)	\(\geqslant\)	\(2\textcolor{#2980b9}{+x}\)
\(3x+1\textcolor{#2980b9}{-x}\)	\(\geqslant\)	\(2\)
\(2x+1\)	\(\geqslant\)	\(2\)

\(3x+1\)	\(\geqslant\)	\(2+x\)	\(/ \textcolor{#2980b9}{-x}\)
\(3x+1\textcolor{#2980b9}{-x}\)	\(\geqslant\)	\(2+x\textcolor{#2980b9}{-x}\)
\(2x+1\)	\(\geqslant\)	\(2\)

\(\frac{3}{2}x\)	\(\geqslant\)	\(3\)	\(/ \cdot 2\)
\(3x\)	\(\geqslant\)	\(6\)	\(/ : 3\)
\(x\)	\(\geqslant\)	\(2\)

\(-3x\)	\(\geqslant\)	\(6\)		\(/ : \left(-3\right)\)
\(x\)	\(\color{#2980b9}\leqslant\)	\(2\)

Google Analytics
Wykorzystujemy to narzędzie do gromadzenia danych statystycznych na temat zachowań internautów na naszej stronie internetowej. Te informacje obejmują m.in. liczbę odwiedzających, źródło ich przekierowania na stronę, odwiedzane zakładki, informację geograficzne czy czas spędzony na stronie.