Nierówność z wartością bezwzględną

poziom podstawowy

Teoria

Czym jest nierówność z wartością bezwzględną ?

Nierówność z wartością bezwzględną to taka nierówność, która zawiera moduł, wewnątrz którego znajduje się zmienna $x$, np.:

$$ |x+1| \geqslant 0 $$

Uwaga na nierówności sprzeczne !

Korzystając z definicji wartości bezwzględnej wiemy, że cokolwiek znajduje się wewnątrz modułu to po jego "opuszczeniu" otrzymamy liczbę dodatnią lub zero. W związku z tym wszystkie nierówności wskazujące na to, że zawartość modułu jest ujemna są sprzeczne, np.:

$$|x-2| \leqslant -1$$ $$|2x+1| < 0$$

Oczywiście zwróć uwagę na to, że są to przykłady już "uporządkowanych" nierówności do postaci, gdzie z jednej strony znjaduje się tylko modul a po drugiej stronie liczba.

Jeżeli po stronie wartości bezwględnej, ale po za modułem znajdują się liczby to należy doporowadzić do wspomnianej postaci, np.:

$$ -11-2|x-4| \leqslant -1 $$

Po uporządkowaniu (oraz związaną z uporządkowaniem zmianą znaku) otrzymujemy poprawną nierówność:

$$ |x-4| \geqslant -5 $$

Uwaga wyjątek !

Szczególną uwagę należy zwrócić na nierówność w postaci:

$$|...| \quad \leqslant \quad 0$$

Wiesz już, że w przypadku znaku mniejszości $<$ taka nierówność byłaby sprzeczna. Jednak znak $\leqslant$ zawiera dwa warunki: wskazuje na mniejszość lub równość. Zatem każdą taką nierówność należy rozpatrywać jedynie w aspekcie równości - a to oznacza konieczność przekształcenia jej w równanie:

$\|...\| $	$\quad \leqslant \quad$	$0$
	$$\downarrow$$
$\|...\|$	$\quad = \quad$	$0$

Jak rozwiązać równanie z wartością bezwzględną ?

$$|x+3|-1>5$$

1. Równanie doprowadzamy do postaci:

$$|...| \quad [>, \geqslant, <, \leqslant] \quad liczba$$

$$|x+3|>6$$

2. Rozpisujemy równanie na dwa przypadki i rozwiązujemy tak powstałe równania liniowe:

pierwszy przypadek:

Przepisujemy równanie bez modułu:

$ x+3 $	$ > $	$ 6 $
$x$	$>$	$3$

drugi przypadek:

Przepisujemy równanie bez modułu oraz zmieniamy znak nierówności i liczby po prawej stronie równania na znaki przeciwne:

$ x+3 $	$ \color{#2980b9}{<} $	$ {\color{#2980b9}-6} $
$x$	$<$	$-9$

3. Określamy rozwiązanie:

$$ x\in (-\infty, -9) \land (3, \infty) $$

Nierówność liniowa

Nierówność kwadratowa

\(\|...\| \)	\(\quad \leqslant \quad\)	\(0\)
	$$\downarrow$$
\(\|...\|\)	\(\quad = \quad\)	\(0\)

\( x+3 \)	\( > \)	\( 6 \)
\(x\)	\(>\)	\(3\)

\( x+3 \)	\( \color{#2980b9}{<} \)	\( {\color{#2980b9}-6} \)
\(x\)	\(<\)	\(-9\)

Google Analytics
Wykorzystujemy to narzędzie do gromadzenia danych statystycznych na temat zachowań internautów na naszej stronie internetowej. Te informacje obejmują m.in. liczbę odwiedzających, źródło ich przekierowania na stronę, odwiedzane zakładki, informację geograficzne czy czas spędzony na stronie.