Nierówność liniowa z parametrem

poziom rozszerzony

Teoria

Czym jest nierówność liniowa z parametrem ?

Nierówność liniowa z parametrem to nierówność liniowa zawierająca dodatkowe zmienne nazywane parametrami, np.:

$$ 3(m-1)x+2<4 $$

Analiza nierówności liniowej

Nierówność liniowa ma postać:

$$ \textcolor{#c85959}{a}x+\textcolor{#449B47}{b} \quad [>, \geqslant, <, \leqslant] \quad 0 $$

gdzie:

$\textcolor{#c85959}{a}$ - liczba przy zmiennej $x$

$\textcolor{#449B47}{b}$ - wyraz wolny

rozwiązaniem nierówności liniowej jest:

przedział

jeżeli:

$$ \textcolor{#c85959}{a}\neq0 \quad \land \quad \textcolor{#449B47}{b}\neq0 $$

w szczególności:

- przedział $ \left( {\color{#2980b9}d}, \infty \right) $ lub $ \left< {\color{#2980b9}d}, \infty \right) $, jeżeli:

$$ \textcolor{#c85959}{a} > 0 \quad \land \quad [>, \geqslant] $$

lub

$$ \textcolor{#c85959}{a} < 0 \quad \land \quad [<, \leqslant] $$

oraz

$$ {\color{#2980b9}d} = \frac{-\textcolor{#449B47}{b}}{\textcolor{#c85959}{a}} \quad \rightarrow \quad \textcolor{#449B47}{b} = -({\color{#2980b9}d} \textcolor{#c85959}{a}) $$

- przedział $ \left( -\infty, {\color{#2980b9}d} \right) $ lub $ \left( -\infty, {\color{#2980b9}d} \right> $, jeżeli:

$$ \textcolor{#c85959}{a} > 0 \quad \land \quad [<, \leqslant] $$

lub

$$ \textcolor{#c85959}{a} < 0 \quad \land \quad [>, \geqslant] $$

oraz

$$ {\color{#2980b9}d} = \frac{-\textcolor{#449B47}{b}}{\textcolor{#c85959}{a}} \quad \rightarrow \quad \textcolor{#449B47}{b} = -({\color{#2980b9}d} \textcolor{#c85959}{a}) $$

zbiór liczb rzczywistych $\mathbb{R}$

jeżeli:

$$ \textcolor{#c85959}{a}=0 $$ oraz
nierówność: $$ \textcolor{#449B47}{b} \quad [>, \geqslant, <, \leqslant] \quad 0 $$ jest prawdziwa

zbiór pusty $\varnothing$

jeżeli:

$$ \textcolor{#c85959}{a}=0 \quad \land \quad \textcolor{#449B47}{b} \neq 0 $$ oraz
nierówność: $$ \textcolor{#449B47}{b} \quad [>, \geqslant, <, \leqslant] \quad 0 $$ jest nieprawdziwa

Jak rozwiązać nierówność liniową z parametrem ?

Dla jakich wartości parametru $m$ równanie $$ (m-2)x + 2m-4 \geqslant 0 $$ ma rozwiązanie w postaci $x\in \left< 0, \infty \right) $ ?

1. Nierówność należy doprowadzić do postaci:

$$ \textcolor{#c85959}{a}x+\textcolor{#449B47}{b} \quad [>, \geqslant, <, \leqslant] \quad 0 $$

$$ \textcolor{#c85959}{(m-2)}x+\textcolor{#449B47}{2m-4} \geqslant 0 $$

2. W zależności od szukanej postaci rozwiązania nierówności liniowej należy rozpisać i rozwiązać odpowiednie równania warunkowe.

warunki:

Aby nierówność liniowa ze zankiem $\geqslant$ miała rozwiązanie w postaci przedziału $ \left< x, \infty \right) $ muszą zostać spełnione warunki:
$$ \textcolor{#c85959}{a} > 0 \quad \land \quad \textcolor{#449B47}{b} = -(x \textcolor{#c85959}{a}) $$

$$ \textcolor{#c85959}{a} > 0 $$ $$ \downarrow $$ $$ m-2 > 0 $$ $$ \downarrow $$ $$ m > 2 $$

$$ \textcolor{#449B47}{b} = -(x \textcolor{#c85959}{a}) $$ $$ \downarrow $$ $$ 2m-4 = -(0\cdot (m-2)) \quad $$ $$ \downarrow $$ $$ m = 2 $$

3. Należy zestawić poszczególne wyniki i zapisać ostateczny wynik - część wspólną rozwiązań:

$$ m > 2 \quad \land \quad m = 2 $$ $$ \downarrow $$ $$ m \in \varnothing $$

Odpowiedź:

Nie ma takiego parametru $m$, dla którego równanie $(m-2)x + 2m-4 \geqslant 0$ ma rozwiązanie w postaci $x\in \left< 0, \infty \right) $.

Równanie liniowe z parametrem

Wzory Viete'a

Google Analytics
Wykorzystujemy to narzędzie do gromadzenia danych statystycznych na temat zachowań internautów na naszej stronie internetowej. Te informacje obejmują m.in. liczbę odwiedzających, źródło ich przekierowania na stronę, odwiedzane zakładki, informację geograficzne czy czas spędzony na stronie.