Matura 2025

>

Równania i nierówności

>

poziom rozszerzony:

Równanie liniowe z parametrem

Równanie liniowe z parametrem

poziom rozszerzony

Czym jest równanie liniowe z parametrem ?

Równanie liniowe z parametrem to równanie liniowe zawierające dodatkowe zmienne nazywane parametrami, np.:

$$ 2mx+5 = 0 $$

Analiza równania liniowego

Równanie liniowe ma postać:

$$ \textcolor{#c85959}{a}x+\textcolor{#449B47}{b}=0 $$

gdzie:

\(\textcolor{#c85959}{a}\) - liczba przy zmiennej \(x\)

\(\textcolor{#449B47}{b}\) - wyraz wolny


równanie liniowe ma:

  • jedno rozwiązanie

    • jeżeli:

    $$ \textcolor{#c85959}{a}\neq0 \quad \land \quad \textcolor{#449B47}{b}\neq0 $$

    w szczególności, jeżeli równanie ma konkretne rozwiązanie \(x=\color{#2980b9}{d}\), to:

    $$ {\color{#2980b9}d} = \frac{-\textcolor{#449B47}{b}}{\textcolor{#c85959}{a}} \quad \rightarrow \quad \textcolor{#449B47}{b} = -({\color{#2980b9}d} \textcolor{#c85959}{a}) $$

  • nieskończenie wiele rozwiązań

    • jeżeli:

    $$ \textcolor{#c85959}{a}=0 \quad \land \quad \textcolor{#449B47}{b}=0 $$

  • zero rozwiązań

    • jeżeli:

    $$ \textcolor{#c85959}{a}=0 \quad \land \quad \textcolor{#449B47}{b}\neq0 $$

Jak rozwiązać równanie liniowe z parametrem ?

Dla jakich wartości parametru \(m\) równanie $$ mx + 3 = -x $$ ma jedno rozwiązanie \(x=6\).

1. Równanie należy doprowadzić do postaci:

$$ \textcolor{#c85959}{a}x+\textcolor{#449B47}{b}=0 $$

$$ \textcolor{#c85959}{(m+1)}x+\textcolor{#449B47}{3}=0 $$

2. W zależności od szukanej ilości rozwiązań równania liniowego należy rozpisać i rozwiązać równania warunkowe.

warunki:

  • Aby równanie liniowe miało jedno rozwiązanie muszą być spełnione warunki:

    $$ \textcolor{#c85959}{a}\neq0 \quad \land \quad \textcolor{#449B47}{b}\neq0 $$

    $$ \textcolor{#c85959}{a}\neq0 $$ $$ \downarrow $$ $$ m+1\neq0 $$ $$ m \neq -1 $$
    $$ \textcolor{#449B47}{b}\neq0 $$ $$ \downarrow $$ $$ \textcolor{#449B47}{b}=3 $$
  • Jeżeli równanie ma mieć jedno, dokładnie wskazane rozwiązanie \(x\), to musi zostać spełnione równanie:

    $$ x = \frac{-\textcolor{#449B47}{b}}{\textcolor{#c85959}{a}} \quad \rightarrow \quad \textcolor{#449B47}{b} = -(x \textcolor{#c85959}{a}) $$

    $$ \textcolor{#449B47}{b} = -(x \textcolor{#c85959}{a}) $$ $$ \downarrow $$ $$ 3 = -(6(m+1)) $$ $$ \downarrow $$ $$ 6m+9=0 $$ $$ \downarrow $$ $$ m=-\frac{3}{2} $$

3. Należy zestawić poszczególne wyniki i zapisać ostateczny wynik - część wspólną rozwiązań:

$$ m \neq -1 \quad \land \quad m=-\frac{3}{2} $$ $$ \downarrow $$ $$ m=-\frac{3}{2} $$

Odpowiedź:

Równanie \(mx + 3 = -x\) ma jedno rozwiązanie \(x=6\) dla paramteru \(m=-\frac{3}{2}\).

Nierówność z dwiema wartościami bezwzględnymi
Nierówność liniowa z parametrem