Równanie kwadratowe

poziom podstawowy

Teoria

Czym jest równanie kwadratowe (równanie drugiego stopnia) ?

Równanie kwadratowe - to równanie, w którym występuje $x^2$ - zmienna w drugiej potędze (i jednocześnie jest to największa potęga w równaniu) np.:

$$ 3x-x^2+1=0 $$

lub

równanie w postaci iloczynowej, którego wyrażenia są wyrażeniami liniowymi i jest ich dokładnie dwa. (po opuszczeniu nawiasów - czyli wymnożeniu tych wyrażeń otrzymamy wyrażenie kwadratowe) np.:

$$ (x-1)(x+2)=0 $$

Jak rozwiązać równanie kwadratowe ?

Metoda I

Metoda uniwersalna, za pomocą której można rozwiązać każde równanie kwadratowe w postaci ogólnej:

1. Porządkujemy równanie do postaci:

$$ \textcolor{#c85959}{a}x^2+\textcolor{#2980b9}{b}x+\textcolor{#449B47}{c}=0 $$

2. Obliczamy deltę $\triangle$ ze wzoru:

$$ \triangle=\textcolor{#2980b9}{b}^2-4\textcolor{#c85959}{a}\textcolor{#449B47}{c} $$

3. W zależności od wyniku delty $\triangle$ są trzy możliwości:

delta dodatnia

$$ \triangle>0 $$

Jeżeli wynik delty jest liczbą dodatnią to takie równanie ma dwa rozwiązania, które wyliczymy ze wzorów:

$$ x_1=\frac{-{\color{#2980b9}b}-\sqrt\triangle}{2{\color{#c85959}a}} $$ $$ x_2=\frac{-{\color{#2980b9}b}+\sqrt\triangle}{2{\color{#c85959}a}} $$

delta zerowa

$$ \triangle=0 $$

Jeżeli wynik delty jest równy zero to takie równanie ma jedno rozwiązanie, które wyliczymy ze wzoru:

$$ x_0=\frac{-{\color{#2980b9}b}}{2{\color{#c85959}a}} $$

delta ujemna

$$ \triangle< 0 $$

Jeżeli wynik delty jest liczbą ujemną to takie równanie nie ma rozwiązań:

$$ x\in \varnothing $$

Metoda II

Metoda rozwiązywania (bez liczenia delty) równań, które zawierają tylko zmienną $x^2$ i liczby np.:

1. Równanie można zapisać w postaci:

$$ \textcolor{#c85959}{a}x^2+\textcolor{#449B47}{c}=0 $$

2. Porządkujemy równanie do postaci, w której po jednej stronie jest $x^2$ a po drugiej liczba $d$:

$$ x^2=d $$

3. W zależności od liczby po prawej stronie równania $d$ są trzy możliwości:

liczba dodatnia

$$ d>0 $$

Jeżeli liczba $d$ jest liczbą dodatnią to takie równanie ma dwa rozwiązania, które wyliczymy ze wzorów:

$$ x_1=\sqrt{d} $$ $$ x_2=-\sqrt{d} $$

zero

$$ d=0 $$

Jeżeli liczba $d$ jest równa zero to takie równanie ma jedno rozwiązanie, które wynosi:

$$ x=0 $$

liczba ujemna

$$ d<0 $$

Jeżeli liczba $d$ jest liczbą ujemną to takie równanie nie ma rozwiązań:

$$ x\in \varnothing $$

Metoda III

Metoda rozwiązywania (bez liczenia delty) równań, które zawierają tylko zmienną $x^2$ i zmienną $x$ np.:

1. Porządkujemy równanie do postaci:

$$ \textcolor{#c85959}{a}x^2+\textcolor{#449B47}{c}x=0 $$

2. Tworzymy iloczyn czynników poprzez wyciągnięcie $\textcolor{#c85959}{a}x$ przed nawias:

$$ \textcolor{#c85959}{a}x\left(x+ \frac{\textcolor{#449B47}{c}}{\textcolor{#c85959}{a}} \right)=0 $$

3. Każdy czynnik przyrównujemy do zera i rozwiązujemy tak powstałe równania liniowe:

$$ \textcolor{#c85959}{a}x $$ $$ \downarrow $$ $$ x=0 $$

$$ x+ \frac{\textcolor{#449B47}{c}}{\textcolor{#c85959}{a}} $$ $$ \downarrow $$ $$ x=-\frac{\textcolor{#449B47}{c}}{\textcolor{#c85959}{a}} $$

Metoda IV

Metoda rozwiązywania równań kwadratowych zapisanych w postaci iloczynowej np.:

1. Równanie jest w postaci:

$$ \textcolor{#c85959}{a}\left(x-\textcolor{#FFA700}{x_1}\right)\left(x-\textcolor{#FFA700}{x_2}\right)=0 $$

lub

$$ \textcolor{#c85959}{a}\left(x-\textcolor{#FFA700}{x_0}\right)^2=0 $$

2. Każdy czynnik przyrównujemy do zera i rozwiązujemy tak powstałe równania liniowe:

$$ \textcolor{#c85959}{a} $$ $$ \downarrow $$ $$ x\in \varnothing $$

$$ x+\textcolor{#FFA700}{x_1} $$ $$ \downarrow $$ $$ x=\textcolor{#FFA700}{-x_1} $$

$$ x-\textcolor{#FFA700}{x_2} $$ $$ \downarrow $$ $$ x=\textcolor{#FFA700}{x_2} $$

lub

$$ \textcolor{#c85959}{a} $$ $$ \downarrow $$ $$ x\in \varnothing $$

$$ x-\textcolor{#FFA700}{x_0} $$ $$ \downarrow $$ $$ x = \textcolor{#FFA700}{x_0} $$

Równanie z wartością bezwzględną

Równanie wielomianowe

Google Analytics
Wykorzystujemy to narzędzie do gromadzenia danych statystycznych na temat zachowań internautów na naszej stronie internetowej. Te informacje obejmują m.in. liczbę odwiedzających, źródło ich przekierowania na stronę, odwiedzane zakładki, informację geograficzne czy czas spędzony na stronie.