Nierówność z dwiema wartościami bezwzględnymi

Jak rozwiązać nierówność z dwiema wartościami bezwzględnymi ?

1. Nierówność należy doprowadzić do postaci, gdzie po jednej stronie są same moduły a po drugiej same liczby:

$$ c|...|\pm d|...| \quad [>, \geqslant, <, \leqslant] \quad liczba $$

2. Wnętrze każdego modułu należy przyrównać do zera i rozwiązać tak powstałe równania liniowe:

3. Rozwiązania równań należy nanieść na oś liczbową i rozpisać powstałe przedziały liczbowe:

rozwiązania dzielą oś na trzy przedziały, które zaznaczamy i zapisujemy zgodnie z zasadą:

nawias ostry \( \langle \) zawsze z lewej strony, chyba że przedział zaczyna się od znaku \(\infty\), wtedy stosujemy nawias gładki \((\)

4. W każdym z przedziałów należy rozpatrzyć główną nierówność zgodnie z zasadami:

• wybieramy dowolną liczbę z rozpatrywanego przedziału i podstawiamy ją do modułów nierówności, tak aby określić znak wyrażenia wewnątrz nich:
$$ I $$ $$ x \in (-\infty, -3) $$ $$ \downarrow $$ $$ x=\textcolor{#2980b9}{-4} $$ $$ \downarrow $$ $$ |x+3| = |\textcolor{#2980b9}{-4}+3| = |-1| $$ $$ |x-5| = |\textcolor{#2980b9}{-4}-5| = |-9| $$
$$ II $$ $$ x \in \left< -3, 5 \right) $$ $$ \downarrow $$ $$ x=\textcolor{#2980b9}{-3} $$ $$ \downarrow $$ $$ |x+3| = |\textcolor{#2980b9}{-3}+3| = |0| $$ $$ |x-5| = |\textcolor{#2980b9}{-3}-5| = |-8| $$
$$ III $$ $$ x \in \left< 5, \infty \right) $$ $$ \downarrow $$ $$ x=\textcolor{#2980b9}{5} $$ $$ \downarrow $$ $$ |x+3| = |\textcolor{#2980b9}{5}+3| = |8| $$ $$ |x-5| = |\textcolor{#2980b9}{5}-5| = |0| $$
• zapisujemy i rozwiązujemy główną nierówność opuszczając moduły zgodnie z zasadą:

- jeżeli wewnątrz modułu po podstawieniu przykładowej liczby otrzymaliśmy liczbę dodatnią lub zero to zawartość modułu przepisujemy bez żadnych zmian

- jeżeli wewnątrz modułu po podstawieniu przykładowej liczby otrzymaliśmy liczbę ujemną to zawartość modułu przepisujemy zmieniając jego znak na przeciwny




opuszczenie modułów powoduje przekształcenie nierówności z wartościami bezwzględnymi na zwykłą nierówność liniową:

$$ I $$ $$ x \in (-\infty, -3) $$ $$ \downarrow $$ $$ |x+3| \rightarrow -x-3 $$ $$ |x-5| \rightarrow -x+5 $$ $$ \downarrow $$ $$ -x-3+(-x+5)>12 $$ $$ -2x>10 $$ $$ x<-5 $$
rozwiązanie:
$$ x \in (-\infty, -5) $$
$$ II $$ $$ x \in \left< -3, 5 \right) $$ $$ \downarrow $$ $$ |x+3| \rightarrow x+3 $$ $$ |x-5| \rightarrow -x+5 $$ $$ \downarrow $$ $$ x+3+(-x+5)>12 $$ $$ 8>12 $$
nierówność sprzeczna
$$ x \in \varnothing $$
$$ III $$ $$ x \in \left< 5, \infty \right) $$ $$ \downarrow $$ $$ |x+3| \rightarrow x+3 $$ $$ |x-5| \rightarrow x-5 $$ $$ \downarrow $$ $$ x+3+(x-5)>12 $$ $$ 2x>14 $$ $$ x>7 $$
rozwiązanie:
$$ x \in (7, \infty) $$

5. Rozwiązaniem ostatecznym jest suma rozwiązań w poszczególnych przedziałach: