Nierówność wymierna

1. Nierówność jest w postaci:

$$ ... \pm \frac{V\left(x\right)}{W\left(x\right)} \quad [>, \geqslant, <, \leqslant] \quad \frac{Y\left(x\right)}{Z\left(x\right)} \pm ... $$

2. Określamy dziedzinę wszystkich wyrażeń wymiernych:

w tym celu przyrównujemy mianowniki wyrażeń wymiernych do zera i rozwiązujemy tak powstałe równania, w celu przyspieszenia obliczeń wystarczy przyrównać do zera poszczególne niepowtarzajace się czynniki występujące w mianownikach:

$$ W(x)=0 $$ $$ \vdots $$ $$ Z(x)=0 $$

otrzymane rozwiązania wykluczamy z dziedziny wyrażenia:

$$ D= \mathbb{R} \setminus \{x_{w_1}, ... , x_{z_n}\} $$

3. Obliczamy wstępne rozwiązania nierówności:

w tym celu mnożymy równanie obustronnie przez kwadrat iloczynu mianowników, tak aby pozbyć się ułamków i jednocześnie wykluczyć możliwość zmiany znaku nierówności (gdyby wyrażenia w mianowniki były ujemne - kwadrat tych wyrażeń zawsze zwróci wynik dodatni):

$$ \frac{V\left(x\right)}{W\left(x\right)} \quad [>, \geqslant, <, \leqslant] \quad \frac{Y\left(x\right)}{Z\left(x\right)} \quad / \cdot \left( W\left(x\right) \cdot Z\left(x\right) \right)^2 $$

następnie należy uporządkować nierówność poprzez przerzucenie wszystkich wyrażeń na jedną stronę oraz rozwiązać tak powstałą nierówność wielomianową:

$$ R\left(x\right) \quad [>, \geqslant, <, \leqslant] \quad 0 $$

otrzymane rozwiązania stanowią wstępne rozwiązania nierówności:

$$ x \in \{x_{r_1}, ... , x_{r_n}\} $$

4. Określamy ostateczne rozwiązania nierówności:

w tym celu ze zbioru rozwiązań wstępnych usuwamy (o ile istnieją) rozwiązania wykluczone z dziedziny, tym sposobem uzyskujemy ostateczne rozwiązania równania:

$$ x \in \{x_{r_1}, ... , x_{r_n}\} \setminus \{x_{w_1}, ... , x_{z_n}\} $$