Równanie z dwiema wartościami bezwzględnymi

Jak rozwiązać równanie z dwiema wartościami bezwzględnymi ?

1. Równanie należy doprowadzić do postaci, gdzie po jednej stronie są same moduły a po drugiej same liczby:

$$ c|...|\pm d|...|=liczba $$

2. Wnętrze każdego modułu należy przyrównać do zera i rozwiązać tak powstałe równania liniowe:

3. Rozwiązania równań należy nanieść na oś liczbową i rozpisać powstałe przedziały liczbowe:

rozwiązania dzielą oś na trzy przedziały, które zaznaczamy i zapisujemy zgodnie z zasadą:

nawias ostry \( \langle \) zawsze z lewej strony, chyba że przedział zaczyna się od znaku \(\infty\), wtedy stosujemy nawias gładki \((\)

4. W każdym z przedziałów należy rozpatrzyć główne równanie zgodnie z zasadami:

• wybieramy dowolną liczbę z rozpatrywanego przedziału i podstawiamy ją do modułów równania, tak aby określić znak wyrażenia wewnątrz nich:
$$ I $$ $$ x \in (-\infty, -2) $$ $$ \downarrow $$ $$ x=\textcolor{#2980b9}{-3} $$ $$ \downarrow $$ $$ |x+2| = |\textcolor{#2980b9}{-3}+2| = |-1| $$ $$ |-4+x| = |-4\textcolor{#2980b9}{-3}| = |-7| $$
$$ II $$ $$ x \in \left< -2, 4 \right) $$ $$ \downarrow $$ $$ x=\textcolor{#2980b9}{-2} $$ $$ \downarrow $$ $$ |x+2| = |\textcolor{#2980b9}{-2}+2| = |0| $$ $$ |-4+x| = |-4\textcolor{#2980b9}{-2}| = |-6| $$
$$ III $$ $$ x \in \left< 4, \infty \right) $$ $$ \downarrow $$ $$ x=\textcolor{#2980b9}{4} $$ $$ \downarrow $$ $$ |x+2| = |\textcolor{#2980b9}{4}+2| = |6| $$ $$ |-4+x| = |-4\textcolor{#2980b9}{+4}| = |0| $$
• zapisujemy i rozwiązujemy główne równanie opuszczając moduły zgodnie z zasadą:

- jeżeli wewnątrz modułu po podstawieniu przykładowej liczby otrzymaliśmy liczbę dodatnią lub zero to zawartość modułu przepisujemy bez żadnych zmian

- jeżeli wewnątrz modułu po podstawieniu przykładowej liczby otrzymaliśmy liczbę ujemną to zawartość modułu przepisujemy zmieniając jego znak na przeciwny




opuszczenie modułów powoduje przekształcenie równania z wartościami bezwzględnymi na zwykłe równanie liniowe:

$$ I $$ $$ x \in (-\infty, -2) $$ $$ \downarrow $$ $$ |x+2| \rightarrow -x-2 $$ $$ |-4+x| \rightarrow 4-x $$ $$ \downarrow $$ $$ -x-2-(4-x)=6 $$ $$ -6=6 $$
równanie sprzeczne
$$ x \in \varnothing $$
$$ II $$ $$ x \in \left< -2, 4 \right) $$ $$ \downarrow $$ $$ |x+2| \rightarrow x+2 $$ $$ |-4+x| \rightarrow 4-x $$ $$ \downarrow $$ $$ x+2-(4-x)=6 $$ $$ x=4 $$
\(4\) jest poza przedziałem
$$ x \in \varnothing $$
$$ III $$ $$ x \in \left< 4, \infty \right) $$ $$ \downarrow $$ $$ |x+2| \rightarrow x+2 $$ $$ |-4+x| \rightarrow -4+x $$ $$ \downarrow $$ $$ x+2-(-4+x)=6 $$ $$ 6=6 $$
równanie tożsamościowe
$$ x \in \left< 4, \infty \right) $$

5. Rozwiązaniem ostatecznym jest suma rozwiązań w poszczególnych przedziałach: