Matura 2025

>

Równania i nierówności

>

poziom podstawowy:

Równanie wielomianowe

Równanie wielomianowe

poziom podstawowy

Czym jest równanie wielomianowe ?

Równanie wielomianowe - to równanie, w którym występuje co najmniej \(x^3\) - zmienna w trzeciej potędze, np.:

$$x^3+x=x^2-5$$

lub

równanie, w postaci iloczynowej, którego wyrażenia mają łącznie co najmniej stopień trzeci. (po opuszczeniu nawiasów - czyli wymnożeniu tych wyrażeń otrzymamy wielomian) np.:

$$ x(x-1)(x+2)=0 $$

Jak rozwiązać równanie wielomianowe ?

1a. Równanie jest w postaci iloczynowej:

$$ \left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)...\left(x-x_n\right)=0 $$

lub


1b. Równanie w postaci ogólnej porządkujemy do postaci:

$$ W\left(x\right)=0 $$

następnie przy pomocy jednej z metod rozkładu wielomianów - doprowadzamy równanie do postaci iloczynowej:

$$ \left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)...\left(x-x_n\right)=0 $$

2. Każdy czynnik przyrównujemy do zera i rozwiązujemy tak powstałe równania liniowe lub kwadratowe:

$$ c $$ $$ \downarrow $$

brak rozwiązań

$$ cx $$ $$ \downarrow $$ $$ x=0 $$

$$ \left(x+\textcolor{#449B47}{b}\right) $$ $$ \downarrow $$ $$ x=-\textcolor{#449B47}{b} $$

$$ \left(x-\textcolor{#449B47}{b}\right) $$ $$ \downarrow $$ $$ x=\textcolor{#449B47}{b} $$

$$ \left(\textcolor{#c85959}{a}x+\textcolor{#449B47}{b}\right) $$ $$ \downarrow $$ $$ x=\frac{\textcolor{#449B47}{b}}{\textcolor{#c85959}{a}} $$

$$ \left(\textcolor{#c85959}{a}x-\textcolor{#449B47}{b}\right) $$ $$ \downarrow $$ $$ x=-\frac{\textcolor{#449B47}{b}}{\textcolor{#c85959}{a}} $$

$$ \left(\textcolor{#c85959}{a}x^2+\textcolor{#449B47}{b}\right) $$ $$ \downarrow $$

brak rozwiązań

3. Otrzymane rozwiązania stanowią rozwiązanie (pierwiastki) równania wielomianowego:

$$ x \in \{x_1, ... , x_n\} $$

Równanie kwadratowe
Równanie wymierne