Matura 2025

>

Równania i nierówności

>

poziom podstawowy:

Równanie z wartością bezwzględną

Równanie z wartością bezwzględną

poziom podstawowy

Czym jest równanie z wartością bezwzględną ?

Równanie z wartością bezwzględną to takie równanie, które zawiera moduł, wewnątrz którego znajduje się zmienna \(x\), np.:

$$ |x+1|=0 $$

Uwaga na równania sprzeczne !

Korzystając z definicji wartości bezwzględnej wiemy, że cokolwiek znajduje się wewnątrz modułu to po jego "opuszczeniu" otrzymamy liczbę dodatnią lub zero. W związku z tym wszystkie równania wskazujące na to, że zawartość modułu jest ujemna są sprzeczne, np.:

$$|x+1|=-1$$ $$|x-5|=-7$$

Oczywiście zwróć uwagę na to, że są to przykłady już "uporządkowanych" równań do postaci, gdzie z jednej strony znjaduje się tylko moduł a po drugiej stronie liczba.

Jeżeli po stronie wartości bezwględnej, ale po za modułem znajdują się liczby to należy doprowadzić do wspomnianej postaci, np.:

$$ 7-2|x-4|=-3 $$

po uporządkowaniu otrzymujemy poprawne równanie:

$$ |x-4|=5 $$

Jak rozwiązać równanie z wartością bezwzględną ?

$$|x+3|-1=5$$

1. Równanie doprowadzamy do postaci:

$$|...|=liczba$$

$$|x+3|=6$$

2. Rozpisujemy równanie na dwa przypadki i rozwiązujemy tak powstałe równania liniowe:

  • pierwszy przypadek:

    • Przepisujemy równanie bez modułu:

    $$ x+3=6 $$ $$ x=3 $$
  • drugi przypadek:

    • Przepisujemy równanie bez modułu oraz zmieniamy znak liczbie po prawej stronie równania na przeciwny:

    $$ x+3={\color{#2980b9}-6} $$ $$ x=-9 $$

3. Określamy rozwiązanie:

-9 3 x
$$ x\in\{-9,3\} $$
Równanie liniowe
Równanie kwadratowe